Question

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a integral definida a seguir e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:

A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.

Answer 1

Calculando essa integral definida, encontra-se $\int^{\tt3}_{\tt1}\tt2x^2+2x~dx=\frac{76}{3}$, então: a) somente a opção IV está correta.

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$\displaystyle\int^{\tt3}_{\tt1}\tt2x^2+2x~dx$

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (T.F.C.), tem-se que:

$\boxed{\displaystyle\int^{\tt b}_{\tt a}\tt f(x)~dx=F(x)\bigg|^{b}_{a}=F(b)-F(a)}$

Então primeiramente, é necessário encontrar a primitiva de f(x). Para isso, calcule a integral indefinida:

$\displaystyle\int\tt2x^2+2x~dx=\displaystyle\int\tt2x^2~dx+\displaystyle\int\tt2x~dx$

                       $=~\tt2\displaystyle\int\tt x^2~dx+2\displaystyle\int\tt x~dx$

                       $=~\tt2\cdot\dfrac{x^3}{3}+c+2\cdot\dfrac{x^2}{2}+c$

                       $=~\underbrace{\tt\dfrac{2x^3}{3}+x^2+C}_{\tt F(x)}$

Prosseguindo ao teorema, encontramos:

$\displaystyle\int^{\tt 3}_{\tt 1}\tt 2x^2+2~dx=\dfrac{2x^3}{3}+x^2+C\,\bigg|^{3}_{1}$

                       $\tt=~F(3)-F(1)$

                       $\tt=~\dfrac{2\cdot3^3}{3}+3^2+C-\bigg(\dfrac{2\cdot1^3}{3}+1^2+C\bigg)$

                       $\tt=~2\cdot3^2+9-\dfrac{2\cdot1}{3}-1$

                       $\tt=~2\cdot9+9-\dfrac{2}{3}-1$

                       $\tt=~18+9-\dfrac{2}{3}-1$

                       $\tt=~27-\dfrac{2}{3}-1$

                       $\tt=~26-\dfrac{2}{3}$

                       $\tt=~\dfrac{26\cdot3-2}{3}$

                       $\tt=~\dfrac{78-2}{3}$

                       $\tt=~\dfrac{76}{3}~~\longleftarrow~\sf IV$

Portanto, somente a opção IV está correta (alternativa a).

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.