Question

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calcule a área limitada por y = 2x, o eixo x e as retas x = 1 e x = 4 através da integração.
A) Área = 10.
B) Área = 15.
C) Área = 12.
D) Área = 16.

Answer 1

A área limitada por y configura-se na alternativa b).

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Deseja-se calcular, por meio da integração, a área limitada por y = 2x variando no intervalo [1 , 4]; então a integral definida a seguir determinará essa tal área:

$\tt A=\displaystyle\int\limits^{\tt4}_{\tt1}\tt2x\,dx$

Inicialmente integrando y obtém-se:

$\tt\displaystyle\int\tt2x\,dx=x^2+c$

[Basta lembrar que (x² + c)' = 2x, então a integral de 2x é igual a x² + c (isso pois a integral é a inversa da derivada)].

E se pelo Teorema Fundamental do Cálculo tem-se que

$\small\boxed{\tt\displaystyle\int\limits^{\tt b}_{\tt a}\tt p(x)\,dx=P(x)\bigg|^{b}_{a}=P(b)-P(a)}$

, então:

$\tt A=\displaystyle\int\limits^{\tt4}_{\tt1}\tt2x\,dx=x^2\bigg|^{4}_{1}=4^2-1^2$

                 $\tt A=16-1$

                 $\tt A=15~u.a.$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.