Question

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como, por exemplo, na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.
Calcule a área total entre a curva y=√x, o eixo x e as retas x=1 e x=4.

Answer 1

de acordo com o enunciado:

I(x) = integral √x = 2x^(3/2)/3 + C

I(4) = 2 * 4^(3/2) / 3 = 16/3

I(1) = 2 * (1^(3/2) / 3 = 2/3

área zozal

A = I(4) - I(1) = 16/3 - 2/3 = 14/3

Answer 2

Com o estudo sobre área entre curvas, temos que a área total será 14/3

Área entre figuras

Sejam f(x) eg(x) funções contínuas em um intervalo [a,b] tal que f(x)≥g(x) em [a,b] . Queremos encontrar a área entre os gráficos das funções, como mostrado na Figura(em anexo). Vamos particionar o intervalo no eixo x e aproximar a área entre os gráficos das funções com retângulos. Então, para i = 0, 1, 2,...., n. Se $P=x_i$, então uma partição regular de [a,b].

Então, para i=1,2,…,n, escolhemos um ponto $x_i^{ *}$ ∈ $\left[x_{i-1},x_i\right]$, e em cada intervalo $\left[x_{i-1},x_i\right]$ construir um retângulo que se estende verticalmente de $g\left(x_i^{^{ *}}\right)$ até $f\left(x_i^{^{ *}}\right)$. A figura em anexo mostra os retângulos quando $x_i^*$ é selecionado para ser o ponto final esquerdo do intervalo e n = 10.

Somando as áreas teremos:

$\:A\approx \:\sum \:_{i=1}^n\left[f\left(x_i^*\right)-g\left(x_i^*\right)\right]\Delta x.\:$

Aplicando o limite

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{i=1}^n\left[f\left(x^{ *}_i\right)-g\left(x^{ *}_i\right)\right]\Delta x=\int \:^b_a\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

Sendo assim podemos resolver o exercício

$\int _1^4\sqrt{x}\:dx=\left[\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\right]^4_1=\dfrac{14}{3}$

Saiba mais sobre área de figuras: https://brainly.com.br/tarefa/48862081

#SPJ2