Question

No binomio (x³+ 1/y²)^25, escreva o termo que contem x^9, calculando o respectivo coeficiente?
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Answer 1

Resposta:

Considerando que o binômio é no formato (x + a)ⁿ, resolveremos esta questão através do termo geral do binômio de Newton.

${( {x}^{3} + \frac{1}{ {y}^{2} } )}^{25} \\ x = {x}^{3} \\ a = \frac{1}{ {y}^{2} } \\ n = 25$

Termo Geral:

$t_{k + 1} = \binom{n}{k} . {a}^{k} . {x}^{n - k}$

Como queremos o termo em $x^{9}$, temos que o expoente de x, ou seja, n - k, precisa ser igualado a 9. Porém, já sabemos que n = 25.

$n - k = 9 \\ 25 - k = 9 \\ - k = 9 - 25 \\ - k = - 16 \\ k = 16$

Portanto, o termo em $x^{9}$ é o 17° termo (k + 1).

$t_{17} = \binom{25}{16} . {( \frac{1}{ {y}^{2} }) }^{16} . {( {x}^{3} )}^{25 - 16}$

Agora, vamos calcular o binomial, à parte, de 25 e 16.

$\binom{25}{16} = \frac{25!}{16!(25 - 16)!} = \frac{25.24.23.22.21.20.19.18.17.16!}{16!.9!} = \frac{741354768000}{9.8.7.6.5.4.3.2.1} = \frac{741354768000}{362880} = 2042975$

Retomando, temos:

$t_{17} = 2042975. {( {y}^{2} )}^{ - 16} . {( {x}^{3} )}^{9} \\ t_{17} = 2042975 {x}^{27} {y}^{ - 32}$

Portanto, temos o termo calculado (17° termo), de coeficiente 2042975.