Question

No anime Youkoso Jitsuryoku Shijou Shugi no Kyoushitsu também conhecido como Classroom of the elite o protagonista Kiyotaka Ayanokoji da classe 1-D está fazendo um teste de matemática e ele precisa acerta a seguinte questão para tirar uma boa nota.


Resolva a seguinte equação modular:

$\sqrt{4a^2-4a+1}+|a+4| =a+7$


Os valores da variável $a$ que Ayanokoji achou foram ?

Answer 1

O valor que Ayanokoji acho na equação modular  foi de

$\Large\text{ \boxed{\boxed{a=-1}} }$

$\Large\text{ \boxed{\boxed{a=2}} }$

• Mas, como chegamos nessa resposta ?

Temos uma equação modular ou seja temos um modulo na equação

Para resolvermos esse problema precisamos saber das propriedades da equação modular

• Valor da variável maior ou igual a 0

$\boxed{|x|\geq 0\Rightarrow x}$

• Valor da variável menor que 0

     $\boxed{|x| < 0 = -x}$

Mas, perceba que n temo um variável no modulo é sim $|a+4|$ então temos que fazer uma inequação

$|a+4|\geq 0\Rightarrow \boxed{|a|\geq -4}$

$|a+4| < 0 \Rightarrow\boxed{ -|a| < -4}$

Então teremos duas equações para resolver

$\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+(4+a)=a+7~~ Sendo~a\geq -4$

$\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7~~ Sendo~a < -4$

Vamos começar com a primeira

$\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+(4+a)=a+7~~ Sendo~a\geq -4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}+4+a=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=a+7-a-4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=3$

$\left(\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}\right)^2=(3)^2\\\\\\4a^2-4a+1=9\\\\4a^2-4a+1-9=0\\\\4a^2-4a-8=0\\\\(4a^2\div 4)-(4a\div 4)-(8\div 4)=(0\div 4)\\\\\boxed{a^2-a-2=0}$

Fazendo Bhaskara temos

$\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c} }{2a} \\\\\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)} }{2\cdot 1} \\\\\\\dfrac{1\pm\sqrt{1+8} }{2}\\\\\\\dfrac{1\pm\sqrt{9} }{2}\\\\\\\dfrac{1\pm3}{2}\\\\\\a_1=\dfrac{1+3}{2} \Rightarrow\dfrac{4}{2}\Rightarrow \boxed{2}\\\\a_2=\dfrac{1-3}{2} \Rightarrow\dfrac{-2}{2}\Rightarrow \boxed{-1}$

Ou seja acharmos 2 e -1 como solução vamos ver se eles cumprem a condição

$Condic\~ao= a\geq -4$

$\boxed{2\geq -4\Rightarrow Verdadeira}\\\\\boxed{-1\geq -4\Rightarrow Verdadeira}$

Assim concluímos que -1 e 2 são soluções da equação

Agora vamos ver para a outra  equação

$\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7~~ Sendo~a < -4\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-(4+a)=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}-4-a=a+7\\\\\\\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=a+7+4+a$

$\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}=2a+11\\\\\left(\sqrt{(4a^{(2)}-4a+1)}\right)^2=\left(2a+11\right)^2\\\\4a^2-4a+1= 4a^2+44a+121\\\\4a^2-4a+1-4a^2-44a-121=0\\\\-48a-120=0\\\\-48a=120\\\\a=\dfrac{120}{-48} \\\\\boxed{a=-2{,}5}$

Achamos que o valor de $a$ é -2,5  Agora vamos ver se ele cumpre a condição

$a < -4$

$\boxed{-2{,}5 < -4 \Rightarrow Falso}$

Logo -2,5 não é solução, então os únicos valores de $a$ que cumprem a igualdade são -1 e 2

Aprenda mais sobre equação modular:

https://brainly.com.br/tarefa/51359187

https://brainly.com.br/tarefa/46980317