Ninguém consegue resolver?
Quantos números inteiros não negativos k, para os quais a equação x² + 6x + k = 0 tem soluções inteiras?
Soluções para a tarefa
Resposta:
apenas quatro que são k = 9, k = 8, k = 5 e k = 0
Explicação passo-a-passo:
Δ ≥ 0
36-4k ≥ 0
-4k ≥ -36
k ≤ 9
Se k = 9, então Δ é quadrado perfeito, logo as raizes serão inteiras, pois a = 1.
Se k = 8, então Δ é quadrado perfeito, logo as raizes serão inteiras, pois a = 1.
Se k = 7, então Δ não é quarado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 6, então Δ não é quarado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 5, então Δ é quadrado perfeito, logo as raizes serão inteiras, pois a = 1.
Se k = 4, então Δ não é quarado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 3, então Δ não é quadrado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 2, então Δ não é quarado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 1, então Δ não é quadrado perfeito, logo as raizes não são inteiras.
Se k = 0, então Δ é quadrado perfeito, logo as raizes são inteiras, pois a = 1.
Resposta apenas quatro.
Desculpa, esqueci do 9 que também satisfaz.
Resposta: A equação tem soluções inteiras para 4 (quatro) números inteiros e não negativos k. Sendo eles pertencentes ao conjunto S = {0, 5, 8, 9}.
Explicação passo-a-passo:
Rebequinha, sei que você já resolveu, porém postarei outras duas soluções distintas entre si e também da sua. Com certeza, é uma questão bem bacana. Vamos às duas soluções:
— Primeira Solução
x² + 6x + k = 0 =>
x² + 6x + 3² - 3² + k = 0 =>
x² + 6x + 3² = 3² - k =>
(x + 3)² = 9 - k =>
|x + 3| = raiz de(9 - k) *
* Para que tal equação tenha raízes inteiras, o binômio 9 - k deve ser um número natural quadrado perfeito. Sabe-se que k é um inteiro não negativo e menor ou igual a 9, logo o conjunto C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} contém todos os possíveis valores que k pode assumir. Assim sendo, k pode ser qualquer valor de C, de modo a tornar 9 - k um natural quadrado perfeito. Portanto, temos as seguintes possibilidades para k:
k = 0 (pois 9 - 0 = 9 = 3²)
k = 5 (pois 9 - 5 = 4 = 2²)
k = 8 (pois 9 - 8 = 1 = 1²)
k = 9 (pois 9 - 9 = 0 = 0²)
Provando que existem apenas 4 (quatro) possibilidades para k.
— Segunda Solução
A equação é dada por x² + 6x + k = 0, logo a soma S de suas raízes será S = - 6/1 = - 6. Com isso, basta determinar as possibilidades de dois inteiros somarem - 6 e que têm produto P = k/1 = k não negativo. Perceba que k é um número inteiro não negativo, o que acarreta que os dois inteiros cuja soma é - 6 são ambos negativos, ou um deles é zero e o outro - 6. Portanto, temos as seguintes possibilidades:
x = 0 ou x = - 6 (Produto k = 0)
x = - 1 ou x = - 5 (Produto k = 5)
x = - 2 ou x = - 4 (Produto k = 8)
x = - 3 ou x = - 3 (Produto k = 9)
Onde os x’s interligados pelo conectivo “ou” (inclusivo) são as possibilidades de raízes cuja soma é - 6. É claramente perceptível que, deste modo, também encontramos quatro valores distintos para k.
Abraços!