Question

Nesta tira de Mort Walker, sempre que o Recruta Zero está com bolha no pé, os cinco
recrutas ( A , B , C , D , E ) se dividem na “missão” de carrega-lo respeitando as
seguintes regras:
1) O Recruta Zero ficará “apoiado” nas cabeças dos três companheiros que ficarem no
meio da fila.
2) Os recrutas A e B só carregarão o Recruta Zero se forem juntos e um atrás do
outro.
Nestas condições, de quantos modos a fila poderá ser formada?

Answer 1

A fila pode ser formada de 36 maneiras.

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O problema é de Combinatória. Mais especificamente, trata de permutação simples de 5 elementos (ABCDE) sujeito à uma restrição (A e B devem ficar juntos, nesta ordem, quando estão no meio). Desta forma, são exemplos de fila os seguintes anagramas:

EABCD, ACDEB, DCABE, ...

Observe que o destaque em A e B é para mostrar que devemos ter atenção para estes recrutas. Se A está entre os três do meio (carregando Recruta Zero), logo B também deve estar e ainda do seu lado e vice-versa.

Vamos dividir o problema em partes.

⇒ 1º caso: A e B não carregam Recruta Zero:

Nesse caso, as filas têm a forma A _ _ _ B ou B _ _ _ A. Como os outros três podem ser colocados sem restrição tem-se 3! + 3! = 12 maneiras para tal configuração.

⇒ 2º caso: A e B carregam Recruta Zero:

Nesse caso, eles estão entre os três do meio. As configurações possíveis são _ AB _ _, _ BA _ _, _ _ AB_ e _ _ BA_. Permutando os outros três para cada caso, temos 3! + 3! + 3! + 3! = 24 maneiras para tal configuração.

Assim, a fila pode ser formada de 12 + 24 = 36 maneiras.

Até mais!