Question

Nesse sentido, seguindo o padrão indicado, você sabe me dizer, quantos palitos formam o lado de um triângulo que foi construído com 135 palitos?

Answer 1

Seguindo a lógica da sequência de triângulos da imagem, teremos um triângulo com 135 palitos quando houver 9 triângulos menores nos lados, e portanto serão 9 palitos.

Primeiro precisamos descobrir a expressão que rege o aumento de palitos da sequência, e podemos começar a ver isso baseando-se no aumento de triângulos menores:

Posição 1 = 1 triângulo

Posição 2 = 1 + 2 = 3 triângulos

Posição 3 = 1 + 2 + 3 = 6 triângulos

Posição 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 triângulos

Posição 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 triângulos

Olhando para a sequência acima, vemos que o número de triângulos aumenta seguindo a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética com razão igual a 1: $\frac{n(n+1)}{2}$. Para provar:

Posição 2:

$triangulos =\frac{n(n+1)}{2}\\\\triangulos=\frac{2(2+1)}{2}\\\\triangulos=\frac{2*3}{2}\\\\triangulos=\frac{6}{2}\\\\triangulos=3$

Sabendo que o número de palitos é o triplo do número de triângulos, podemos afimar que o número de palitos segue uma progressão aritmética que é expressa por $an = \frac{3n(n+1)}{2}$.

Se olharmos para a figura na questão, veremos que a posição indica também a quantidade de triângulos menores de cada lado. Portanto, para saber quantos triângulos menores compõem o lado de um triângulo maior com 135 palitos, basta substituir na fórmula $an = \frac{3n(n+1)}{2}$:

$135 = \frac{3n(n+1)}{2}\\270 = 3n(n+1)\\n(n+1) = 90\\n^{2} + n = 90$

Aplicando a fórmula de Baskhara:

$n1 = \frac{(-1)-\sqrt{1-(4*1*-90)} }{2*1} \\\\n1= \frac{(-1)-\sqrt{361} }{2*1} \\\\n1 = \frac{(-1)-19 }{2*1} \\\\n1 = \frac{-20}{2} \\\\n1=-10$

$n2 = \frac{(-1)+\sqrt{1-(4*1*-90)} }{2*1} \\\\n2= \frac{(-1)+\sqrt{361} }{2*1} \\\\n2 = \frac{(-1)+19 }{2*1} \\\\n2 = \frac{18}{2} \\\\n2=9$

Vemos que somente dois números se encaixam na expressão acima, -10 e 9. Como não existem número de triângulos negativos, podemos descartar o -10 e afirmar que em um triângulo com 135 palitos, existem 9 triângulos menores nos seus lados. Como cada base de um triângulo menor é composto por 1 palito, temos que 9 palitos formam os lados desse triângulo maior.

Veja a figura abaixo para atestar o resultado:

Answer 2

O número de palitos que formam o lado do triângulo com 135 palitos é 9.

Essa questão é sobre lógica. Em questões de raciocínio lógico, geralmente devemos encontrar padrões ou alguma forma de relacionar as informações da questão.

Note que a primeira figura (n = 1) possui um triângulo, a segunda figura (n = 2), possui 1 + 2 triângulos e a terceira figura (n = 3) possui 1 + 2 + 3 triângulos.

Portanto, o número de triângulos na n-ésima figura é dada por:

P(n) = n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1

Essa soma pode ser escrita como:

P(n) = n·(n + 1)/2

O triângulo com 135 palitos terá 45 triângulos, logo:

45 = n·(n + 1)/2

90 = n·(n + 1)

Se n = 9, teremos:

90 = 9·(9 + 1)

90 = 9·10

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