Question

Nas superfícies a seguir determine: Interseções com os eixos coordenados, interseções sobre os planos coordenados (traços), simetria, seções de planos
paralelos aos planos coordenados, esboço da superfície.

36x² + 16y²- 9z² -144 = 0

Answer 1

Esboço em anexo.

$36x^2+16y^2-9z^2-144=0$

_______

Interseções com os eixos coordenados:

• Eixo $x:$

(faz $y=z=0$ na equação)

$36x^2-144=0\\\\ 36x^2=144\\\\ x^2=\dfrac{144}{36}\\\\\\ x^2=4\\\\ x=\pm\,2$

Pontos (– 2, 0, 0) e (2, 0, 0).


• Eixo $y:$

(faz $x=z=0$ na equação)

$16y^2-144=0\\\\ 16y^2=144\\\\ y^2=\dfrac{144}{16}\\\\\\ y^2=9\\\\ y=\pm\,3$

Pontos (0, – 3, 0) e (0, 3, 0).


• Eixo $z:$

(faz $x=y=0$ na equação)

$-9z^2-144=0\\\\ 9z^2+144=0\\\\ 9z^2=-144\\\\ z^2=-\,\dfrac{144}{9}\\\\\\ z^2=-16<0$


Não há interseção com o eixo $z.$

________

Interseções com os planos coordenados (traços):

• Plano $xy:$

(faz $z=0$ na equação)

$36x^2+16y^2-144=0\\\\ 36x^2+16y^2=144\\\\ \dfrac{36}{144}\,x^2+\dfrac{16}{144}\,y^2=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{2^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1$

(elipse)


• Plano $xz:$

(faz $y=0$ na equação)

$36x^2-9z^2-144=0\\\\ 36x^2-9z^2=144\\\\ \dfrac{36}{144}\,x^2-\dfrac{9}{144}\,z^2=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{z^2}{16}=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{2^2}-\dfrac{z^2}{4^2}=1$

(hipérbole)


• Plano $yz:$

(faz $x=0$ na equação)

$16y^2-9z^2-144=0\\\\ 16y^2-9z^2=144\\\\ \dfrac{16}{144}\,y^2-\dfrac{9}{144}\,z^2=1\\\\\\ \dfrac{y^2}{9}-\dfrac{z^2}{16}=1\\\\\\ \dfrac{y^2}{3^2}-\dfrac{z^2}{4^2}=1$

(hipérbole)

___________

Simetrias em relação a planos coordenados:

• Plano $xy:$

(troca $z$ por $(-z)$ na equação)

$36x^2+16y^2-9(-z)^2-144=0\\\\ 36x^2+16y^2-9z^2-144=0~~~~~~(\text{\'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

É simétrica em relação ao plano $xy.$


• De forma análoga, concluímos que a superfície é simétrica em relação aos planos $xz$ e $yz.$

___________

Simetrias em relação aos eixos coordenados:

• Ao eixo $x:$

(troca $y$ por $(-y),$ e $z$ por $(-z)$ na equação)

$36x^2+16(-y)^2-9(-z)^2-144=0\\\\ 36x^2+16y^2-9z^2-144=0~~~~~~(\text{equa\c{c}\~ao equivalente})$

A superfície é simétrica em relação ao eixo $x.$


• De forma análoga, também concluímos que tem simetria em relação ao eixo $y$ e ao eixo $z.$

___________

Seções de planos paralelos aos planos coordenados:

• Ao plano $xy:$

(faz $z=k,$ sendo $k$ uma constante)

$36x^2+16y^2-9k^2-144=0\\\\\ 36x^2+16y^2=9k^2+144\\\\\\ \dfrac{x^2}{\left(\frac{9k^2+144}{36} \right )}+\dfrac{y^2}{\left(\frac{9k^2+144}{16} \right )}=1$

(elipses).


• Ao plano $xz:$

(faz $y=k,$ sendo $k$ uma constante)

$36x^2+16k^2-9z^2-144=0\\\\ 36x^2-9z^2=144-16k^2~~~~~~\mathbf{(i)}$


     • Caso $144-16k^2>0,$

$144-16k^2>0\\\\ k^2<9\\\\ -3<k<3$

Para estes valores de $k,$ a equação $\mathbf{(i)}$ se reduz a

$\dfrac{36}{144-16k^2}\,x^2-\dfrac{9}{144-16k^2}\,z^2=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{\left(\frac{144-16k^2}{36}\right)}-\dfrac{z^2}{\left(\frac{144-16k^2}{9}\right)}=1$

(hipérboles).


     • Caso $144-16k^2=0,$

$16k^2=144\\\\ k^2=9\\\\ k=\pm\,3$

Para estes valores de $k,$ a equação $\mathbf{(i)}$ se reduz a

$36x^2-9z^2=0\\\\ (6x)^2-(3z)^2=0\\\\ (6x-3z)(6x+3z)=0\\\\ \begin{array}{rcl} 6x-3z=0&~\text{ ou }~&6x+3z=0 \end{array}$

(duas retas concorrentes)


     • Caso $144-16k^2<0,$

$16k^2>144\\\\ k^2>9\\\\ |k|>3\\\\ \begin{array}{rcl} k<-3&~\text{ ou }~&k>3 \end{array}$

Para estes valores de $k,$ a equação $\mathbf{(i)}$ se reduz a

$36x^2-9z^2=144-16k^2\\\\ 9z^2-36x^2=16k^2-144\\\\ \dfrac{z^2}{\left(\frac{16k^2-144}{9}\right)}-\dfrac{x^2}{\left(\frac{16k^2-144}{36}\right)}=1$

(hipérboles)


• Ao plano $yz:$

(faz $x=k,$ sendo $k$ uma constante)

Procedendo de forma análoga ao que foi feito para as seções paralelas ao plano $xz,$

$36k^2+16y^2-9z^2-144=0\\\\ 16y^2-9z^2=144-36k^2~~~~~~\mathbf{(ii)}$

     • Caso $144-36k^2>0,$

$-2<k<2$

A equação $\mathbf{(ii)}$ se reduz a

$\dfrac{y^2}{\left(\frac{144-36k^2}{16}\right)}-\dfrac{z^2}{\left(\frac{144-36k^2}{9}\right)}=1$

(hipérboles)


     • Caso $144-36k^2=0,$

$k=\pm 2$

A equação $\mathbf{(ii)}$ se reduz a

$16y^2-9z^2=0\\\\ (4y-3z)(4y+3z)=0\\\\ \begin{array}{rcl} 4y-3z=0&~\text{ ou }~&4y+3z=0 \end{array}$

(duas retas concorrentes)


     • Caso $144-36k^2<0,$

$\begin{array}{rcl} k<-2&~\text{ ou }~&k>2 \end{array}$

A equação $\mathbf{(ii)}$ se reduz a

$16y^2-9z^2=144-36k^2\\\\\dfrac{z^2}{\left(\frac{36k^2-144}{9}\right)}-\dfrac{y^2}{\left(\frac{36k^2-144}{16}\right)}=1$

(hipérboles)


Trata-se de um hiperboloide de uma folha.


Bons estudos! :-)