Question

Nas hipérboles representadas a seguir, escreva a equação e determine a excentricidade.​

Answer 1

Resposta:

a)  x^2/16 - y^2/9; e = 5/4 /// c) y^2/25 - x^2/144; e = 13/5

Explicação passo a passo:

LETRA A:

1°) Nota-se que a hipérbole possui centro na origem e o eixo real coincide com o eixo x, então a fórmula geral dela será:

$x^{2} /a^2$ - $y^{2} /b^2$

2°) Vamos então identificar os valores respectivos ao a (semieixo maior) e b (semieixo menor):

- O valor de "a" será dado pela distância entre o centro até a origem, assim sendo, é equivalente a 4 unidades.

- Já o valor de "b" precisa ser encontrado com a informação do semieixo maior e do centro (dado pelos focos) e, após isso, substituiremos os valores em Pitágoras ($c^2 = a^2 + b^2$).

  — Assim sendo, a informação dos focos é: (±5, 0);

  — Portanto, substituindo na fórmula do Teorema de Pitágoras, temos:

$c^2 = a^2 + b^2$

$5^2=4^2+b^2$

$25-16=b^2$

$b=\sqrt{9}$

b = ±3

3°) Logo, a equação da hipérbole é equivalente a:

∴ $x^2/16 - y^2/9$

4°) Já a excentricidade é dada por e = c/a. Como já temos os valores, basta substituirmos na fórmula, então:

e = c/a

∴ e = 5/4

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LETRA C:

1°) Aqui a hipérbole também possui o centro na origem e seu eixo real coincide com o eixo y. Então, a fórmula geral utilizada será:

∴ $y^2/a^2 - x^2/b^2$

2°) Agora vamos encontrar os valores dos semieixos:

- O semieixo maior a é igual a 5 unidades;

- Já o semieixo menor b será calculado por Pitágoras ($c^2=a^2+b^2$). Sabemos que os focos são dados por (0, ±c), então, c = ±13. Assim, temos:

$13^2=5^2+b^2$

$169-25 = b^2$

b = ±12

3°) Substituindo os valores na fórmula, temos a seguinte equação geral da hipérbole:

∴ $y^2/25-x^2/144$

4°) Já a excentricidade será dada por:

e = c/a

∴ e = 13/5

Espero que tenha entendido. Bons estudos :)