Question

Nas figuras estão representadas, em um plano cartesiano, duas circunferência: C1 ( de raio 3 e centro O1 ) e C2 ( de raio 1 e centro O2 ), tangentes entre si, e uma reta t tangente ás duas circunferências nos pontos P e Q.

Nessas condições, a equação da reta t é:

Resposta:
$\mathsf{y= -\frac{ \sqrt{3} }{3}x+3 \sqrt{3} }$

Bem explicada, por favor! :)

Answer 1

Segue em anexo o desenho com as considerações feitas para se descobrir o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo x.

O ângulo achado foi de 30°.

Agora vamos descobrir as coordenados dos pontos P e Q.

Ponto P:
O valor de x de P é igual a soma do raio da circunferência maior mais o segmento A:
Px=3+A
Sabemos que:
senα=A/3  --->  A=3.senα = 3.0,5=1,5
Então:
Px=3+1,5=4,5

O valor de y de P é igual ao segmento B:
E sabemos que:
cosα=B/3 ---> cos 30° = (√3)/2
Então:
B=3.cosα=(3√3)/2
Assim:
Py=(3√3)/2

Ponto Q:
O valor de x de P é igual a soma do diâmetro da circunferência maior mais o raio da circunferência menor mais segmento x:
Qx=6+1+x

E sabemos que:
senα=x/1 -->  x=senα=0,5

Qx=6+1+0,5=7,5

O valor de y do ponto Q é igual ao segmento y.
Sabemos que:
cosα=y/1  --> y=cosα = cos 30° = (√3)/2

Qy=(√3)/2


Pronto, já temos as coordenadas de dois pontos, então podemos achar a equação da reta que passa por esses dois pontos.

P(4,5; (3√3)/2)
Q(7,5; (√3)/2)

A equação da reta pode ser calculada por:
Y-y1 = m.(X-x1)
Para o nosso caso, escolhemos um ponto (o ponto P por exemplo):
Y-Py = m.(X-Px)

Onde m é o coeficiente angular da reta e é calculado por:
m=(Qy-Py)/(Qx-Px)

Calculamos o coeficiente angular:
m=(√3/2 - 3√3/2)/(7,5-4,5)= (-2√3)/2)/(3) = -(√3)/3

Usando a equação genérica:
Y-Py = m.(X-Px)

Y-Py = [-(√3)/3].(X-Px)

Y - 3(√3)/2 = [-(√3)/3].(X-4,5)
Y - 3(√3)/2 = [-(√3)/3].(X-9/2)
Y - 3(√3)/2 = [-(√3)/3].X + (9/2).(√3)/3
Y - 3(√3)/2 = [-(√3)/3].X + (3/2).(√3)
Y = [-(√3)/3].X + (3/2).(√3) +3(√3)/2
Y = [-(√3)/3].X + 3(√3)/2 +3(√3)/2
Y = [-(√3)/3].X + 3√3

Assim chegamos na equação da reta:
Y = [-(√3)/3].X + 3√3

Espero ter ajudado =)

Answer 2

Resposta:

para resolver extremamente rápido

Explicação passo-a-passo:

basta usar semelhanca de triangulos ((triangulo maior para o menor tem uma proporção de 1 pra 3)) e vc vai descobrir que a reta toca o ponto (9,0) ai vc pega esse ponto e coloca nas equações dadas pela questão.

a única que satizfaz é a alternativa B

O foco é acertar com o menor esforço possivel e no menor tempo possivel, não pode desesperar em uma questão como essa.

abc