Question

.
​​​​​​​​​​​Na teoria dos números inteiros, a relação de equivalência, mais conhecida como congruência, tem critérios de divisibilidade. Nesse caso, o critério utilizado será o do número 7.

Então, a partir de seus conhecimentos de congruência e divisibilidade, calcule o resto da divisão de 10135 por 7 e assinale a alternativa correta.


A. O valor do resto da divisão é 6.


B. O valor do resto da divisão é 8.


C. O valor do resto da divisão é 3.


D. O valor do resto da divisão é 5.


E. O valor do resto da divisão é 2.

Answer 1

Resposta: Alternativa A. O valor do resto da divisão é 6.

Explicação passo a passo:

Para responder esta tarefa, usaremos o seguinte critério:

Seja $n=10a+b,$ um número natural, com $a,\,b\in\mathbb{N}$ e $0\le b\le 9.$

Reduzimos o número $n=10a+b$ a outro número $m=a-2b.$ Perceba que $m\le n.$

De posse destas informações, valem:

     (i)   Se $a-2b\equiv r\quad(\mathrm{mod~}7),$ então $10a+b\equiv 3r\quad(\mathrm{mod~}7).$

     (ii)   $7|(10a+b)$ se e somente se $7|(a-2b).$

• Calculando o resto da divisão de 10135 por 7.

     $n=10135=10\cdot (1013)+(5)\quad\Longrightarrow\quad a=1013,~~b=5$

     $\Longrightarrow\quad a-2b=(1013)-2\cdot (5)=1003.$

Reduzindo $1003,$ temos

     $1003=10\cdot (100)+(3)\quad\Longrightarrow\quad a=100,~~b=3$

     $\Longrightarrow\quad a-2b=(100)-2\cdot (3)=94.$

Já podemos escrever

     $\begin{array}{l} 94=7\cdot 13+3\quad\Longleftrightarrow\quad 94\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (100)-2\cdot (3)\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}$

     $\begin{array}{l} \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 10\cdot (100)+(3)\equiv 3\cdot 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 1003\equiv 9\equiv 2 \quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad (1013)-2\cdot (5)\equiv 2 \quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}$

     $\begin{array}{l} \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad 10\cdot (1013)+(5)\equiv 3\cdot 2\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10135\equiv 6 \quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}$

Portanto, o valor do resto da divisão de 10135 por 7 é 6 (esta é a resposta).

─────

Outra forma de responder esta tarefa é escrever:

     $10135=10100+35=101\cdot 100+35.$

Mas temos as seguintes congruências:

     $\left\{\begin{array}{l}101=7\cdot 14+3\quad\Longleftrightarrow\quad 101\equiv 3\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ 100=7\cdot 14+2 \quad\Longleftrightarrow\quad 100\equiv 2\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ 35=7\cdot 5\quad\Longleftrightarrow\quad 35\equiv 0\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.$

Logo, pelas propriedades de congruências, temos

     $\begin{array}{l} 101\cdot 100+35\equiv 3\cdot 2+0\quad(\mathrm{mod~}7)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10135\equiv 6\quad(\mathrm{mod~}7).\end{array}$

Novamente, chegamos ao mesmo resultado.

Resposta: alternativa A.

Saiba mais sobre critério de divisibilidade e resto da divisão por 7: https://brainly.com.br/tarefa/50178971

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Letra A - O valor do resto da divisão é 6.

Explicação passo a passo: