Question

Na soma 1 + 2 + 3 podemos trocar um sinal de “adição” por um sinal de “igual” de forma que apareça uma igualdade verdadeira; veja: 1 + 2 = 3. Investigando esse curioso fato, um estudante se perguntou se o mesmo fato curioso ocorreria com a soma 1 + 2 + 3 + 4 +... +78 + 79 + 80. O professor sugeriu que o estudante tentasse encontrar a resposta por conta própria usando a “fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética” e, em seguida, a “fórmula de resolução de equação do 2o grau”. Se o estudante percorreu corretamente o encaminhamento sugerido pelo professor, ele concluiu que o curioso fato não ocorre na nova sequência investigada porque

Answer 1

Primeiro, temos a fórmula da soma dos termos da PA:

$S = \dfrac{(a_1 + a_n).n}{2}$

O que precisamos fazer é dividir a PA em dois termos, onde a primeira irá começar em 1 e terminará em um termo desconhecido, tendo n termos (lembrando que o número de termos será igual o último termo).
A segunda começara um termo depois que terminar a primeira e terá (80 - n) termos. E a soma delas deve ser igual. Montaremos as equações:

$S_1 = \dfrac{(1 + a_n).n_1}{2}\\\\ S_1 = \dfrac{(1 + n_1).n_1}{2}\\\\ S_1 = \dfrac{n_1 + n_1\ ^2}{2}\\\\\\\\ S_2 = \dfrac{(a_1 + 80).n_2}{2}\\\\ S_2 = \dfrac{[(an+1)+80].n_2}{2}\\\\ S_2 = \dfrac{[an+81].n_2}{2}\\\\\\ como\ n_2 = 80-n_1 \therefore\\\\\\ S_2 = \dfrac{(an+81).(80-n_1)}{2}\\\\ S_2 = \dfrac{(80an-a_nn_1+6480-81n_1)}{2}\\\\\\ Como\ a_n=n_1\ \therefore\\\\\\ S_2 = \dfrac{(80n_1-n_1\ ^2+6480-81n_1)}{2}$

Agora igualamos as equações:

$S_1 = S_2\\ \\ \dfrac{n_1 + n_1\ ^2}{2} = \dfrac{(80n_1-n_1\ ^2+6480-81n_1)}{2} \\ \\ n_1 + n_1\ ^2 = (80n_1-n_1\ ^2+6480-81n_1) \\ n_1 + n_1\ ^2 - 80n_1 + n_1\ ^2 - 6480 + 81n_1 = 0\\ 2n_1\ ^2 + 2n_1 - 6480 = 0\\ \\ n_1\ ^2 + n_1 - 3240 = 0\\ \\ \Delta = b^2 - 4ac\\ \Delta = 1 - 4 . 1 . (-3240) \\ \Delta = 12961\\ \\ n_1 = \dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \\ n_1 = \dfrac{-1\pm \sqrt{12961} }{2.1} \\ \\ n_1 = \dfrac{-1\pm 113,84}{2} \\ \\ n_1 = 56,42\ ou\ -57,42$

Nenhum desses dois valores (56,42 e -57,42) fazem parte da PA.
Portanto esse fato não ocorre na PA {1, 2, 3, 4, ..., 80}

=)