Question

Na progressão aritmética sabe-se que a4 = 23 e a15 = 133. Encontre a7. ( 6L)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\boxed{\Large{a_7=53}}}$

Solução:

Seja a fórmula do termo geral de uma PA dada por $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$, como queremos $a_7$ façamos n=7 na fórmula, logo:

$a_7=a_1+(7-1)\cdot r\\\\\\a_7=a_1+6r$

Bom, então para encontrarmos $a_7$ vamos precisar do $a_1$ e da razão r, agora vamos usar os dados do enunciado, nos foi dado $a_4=23$ e $a_{15}=133$, façamos então n=4 e n=15 na fórmula do termo geral, segue que:

Para n=4

$a_4=a_1+(4-1)\cdot r \\\\\\\overbrace{a_4}^{23}=a_1+3r\\\\\\ \boxed{23=a_1+3r}$

Para n=15

$a_{15}=a_1+(15-1)\cdot r \\\\\\\overbrace{a_{15}}^{133}=a_1+14r\\\\\\ \boxed{133=a_1+14r}$

Obtemos então o seguinte sistema linear

$\displaystyle \left \{ {{23=a_1+3r} \atop {133=a_1+14r}} \right.$

Multiplicando a primeira equação por -1 para poder eliminar o $a_1$ temos:

$\displaystyle \left \{ {{-23=-a_1-3r} \atop {133=a_1+14r}} \right.$

Somando ambas as equações:

$133-13=\not\!{a_1}-\not\!{a_1}-3r+14r\\\\\\110=11r\\\\\\r=\dfrac{110}{11}\\\\\\r=10$

Obtemos então a razão r=10, substituindo então r=10 na primeira equação para encontrar o $a_1$

$23=a_1+3\cdot10\\\\\\23=a_1+30\\\\\\23-30=a_1\\\\\\a_1=-7$

Encontrados $a_1=-7$ e $r=10$, podemos então encontrar o $a_7$ que é dado por $a_7=a_1+6r$, por fim:

$a_7=-7+6\cdot10\\\\\\a_7=-7+60\\\\\\a_7=53$