Question

Na pirâmide quadrangular abaixo os plano que passam por A,B,C,D e por E,F,G,H
são paralelos . Se VF = 3, VB = 5 e a Área de EFGH é 18, qual a área de ABCD?

Answer 1

• Observe que as duas áreas mencionadas no enunciado são proporcionais em relação ao comprimento de suas respectivas arestas, ou seja, quanto mais distante a base da pirâmide estiver do vértice, maior será sua área. Havendo proporcionalidade vamos relembrar as propriedades das proporções:

• Na razão a:b, a e b são denominados "termos", onde "a" é o termo antecedente e "b" é o termo consequente.

• Uma das propriedades das proporções enuncia que: Em uma proporção (a:b = c:d), o produto dos antecedentes (a e c) está para o produto dos consequentes (b e d), assim como o quadrado de cada antecedente (a² ou c²)  está para quadrado do seu consequente (b² ou d²).  Para demonstrar essa propriedade:

• Na proporção $\large \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ multiplique ambos os membros por  $\large \dfrac{a}{b}$.

$\large \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{a}{b}$

$\large \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$ ①

• Na proporção $\large \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ multiplique ambos os membros por  $\large \dfrac{c}{d}$.

$\large \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{c}{d}$

$\large \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = \dfrac{c^2}{d^2}$ ②

• Analisando as equações ① e ② conclui-se que $\large \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d} = \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2}$.

• Vamos então usar a propriedade $\large \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2}$.

dado:

VF = 3

VB = 5

Área EFGH = A₁ = 18

Área ABCD = A₂

• Os comprimentos dos segmento serão elevados ao quadrado e os valores das áreas já representam unidades ao quadrado.

$\large \dfrac{(VF)^2}{(VB)^2} = \dfrac{A_1}{A_2}$

$\large \dfrac {3^2}{5^2} = \dfrac{18}{A_2}$

$\large \dfrac {9}{25} = \dfrac{18}{A_2}$

9 ⋅ A₂ = 18 × 25

9 ⋅ A₂ = 18 × 25

9 ⋅ A₂ = 450

A₂ = 50 u²

A área de ABCD mede 50 u².

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