Na P.A. P.A. (1, 4, 7, 10, ...), calcule a20.
Soluções para a tarefa
Resposta:
58
Explicação passo-a-passo:
an = a1 + ( n-1) · r
a20 = 1 + ( 20 - 1) · 3
a20= 1 + 19 · 3
a20= 1 + 57
a20 = 58
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Da sequência (1, 4, 7, 10, ...), tem-se que:
a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 3 unidades (por exemplo, 4=1+3 e 7=4+3). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).
b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;
c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 10
d)20º termo (a₂₀) - vigésimo elemento da sequência: ?
e)número de termos (n): 20
- Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.
f)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o quarto termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.
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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:
Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.
r = a₂ - a₁ ⇒
r = 4 - 1 ⇒
r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)
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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
a₂₀ = 1 + (20 - 1) . (3) ⇒
a₂₀ = 1 + (19) . (3) ⇒
a₂₀ = 1 + 57 ⇒
a₂₀ = 58
RESPOSTA: O termo a₂₀ da P.A. (1, 4, 7, 10, ...) é 58.
OBSERVAÇÃO 2: Veja, em anexo, a comprovação de que a resposta acima está correta.
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