Question

Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa constante. A bola começa a derreter quando t= 0 horas e leva 12 horas para desaparecer. A taxa de variação do volume da bola quando t = 6 horas é dada por?

Answer 1

Boa tarde!

Visto que a taxa de variação do raio é constante, podemos escrever o raio como uma função linear do tempo:

$r(t)=\alpha{t}+\beta$

Os coeficientes α e β podem ser determinados pelas condições dadas no enunciado. Sabemos que para t = 0h, o raio da bola era de 12 cm. Portanto, podemos escrever:

$r(0)=\alpha\cdot{0}+\beta$
$12=\beta$

Assim, a constante β vale 12 cm. Agora, para determinar a constante α, consideremos o fato e que após 12h a bola derrete totalmente. Temos, então:

$r(12)=\alpha\cdot{12}+\beta$
$0=12\alpha+12$
$12\alpha=-12$
$\alpha=-1$

Logo, a constante α vale -1 cm/h. Com isso, podemos expressar o raio da bola em função do tempo como:

$r(t)=-t+12$

Agora, vamos ao volume da bola. Sabemos que o volume de uma esfera é dada em função de seu raio por:

$V=\frac{4}{3}\pi{r^3}$

Como queremos a taxa de variação do volume, calculamos a derivada da expressão acima:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{4}{3}\pi{r^3}\right)$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{4}{3}\pi\frac{\text{d}r^3}{\text{d}t}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{4}{3}\pi\cdot{3r^2}\frac{\text{d}r}{\text{d}t}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=4\pi\cdot{r^2}\frac{\text{d}r}{\text{d}t}$

Onde, no cálculo da derivada acima usei a regra da cadeia. Agora, sabemos que a derivada de r(t) é

$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=-1$

Logo,

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-4\pi\cdot{r^2}$

Substituindo a expressão para o raio em função no tempo na equação acima obtemos:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-4\pi\cdot{(-t+12)^2}$

No instante dado, t = 6h, temos:

$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-4\pi\cdot{(-6+12)^2}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-4\pi\cdot{(6)^2}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-4\pi\cdot{36}$
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=-452,4\,cm^3/h$

Answer 2

Resposta:

RESPOSTA: - 144 π cm3/h