Question

Na matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&x&x^2\\1&2&4\\1&-3&9\end{array}\right]$ Calcule:

a) Seu determinante.
b) Os valores de x que anulam esse determinante.

Answer 1

a) Calcular o determinante da matriz

$\left[ \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right ]$


Podemos utilizar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Repetimos as duas primeiras colunas da matriz, multiplicamos os elementos das diagonais e somamos os resultados:

$\left| \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right | \begin{array}{cc} 1&x\\ 1&2\\ 1&-3 \end{array}\\ \\ \\ \det \left[ \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right ]=\begin{array}{r} 1\cdot 2\cdot 9+x \cdot 4 \cdot 1+x^{2}\cdot 1 \cdot \left(-3 \right )\\ -1\cdot 2 \cdot x^{2}-\left(-3 \right )\cdot 4\cdot 1-9\cdot 1 \cdot x \end{array}\\ \\ \\ \det \left[ \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right ]=\begin{array}{r} 18+4x-3x^{2}\\ -2x^{2}+12-9x \end{array}\\ \\ \\ \det \left[ \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right ]=-5x^{2}-5x+30\\ \\ \\ \det \left[ \begin{array}{ccc} 1&x&x^{2}\\ 1&2&4\\ 1&-3&9 \end{array} \right ]=-5\cdot \left(x^{2}+x-6 \right )$


b) Encontrar os valores de $x$ de forma que o determinante se anule:

$-5\cdot \left(x^{2}+x-6 \right )=0\\ \\ x^{2}+x-6=0\\ \\ x^{2}+3x-2x-6=0\\ \\ x\cdot \left(x+3 \right )-2\cdot \left(x+3 \right )=0\\ \\ \left(x+3 \right )\cdot \left(x-2 \right)=0\\ \\ x+3=0\;\;\text{ ou }\;\;x-2=0\\ \\ x=-3\;\;\text{ ou }\;\;x=2$