Question

Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.
4x sobre 6 - 2x.

Answer 1

Resposta:

$f'(x) = \frac{24}{(6-2x)^2}=\frac{6}{(3-x)^2}$

Explicação passo a passo:

Podemos utilizar a definição de derivada pelo limite, e assim ficamos com

$f(x)=\frac{4x}{6-2x}\\f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\lim_{h \to 0} \frac{\frac{4(x+h)}{6-2(x+h)}-\frac{4x}{6-2x}}{h}\\lim_{h \to 0} \frac{\frac{4x+4h}{6-2x-2h}-\frac{4x}{6-2x}}{h}\\lim_{h \to 0} \frac{\frac{(4x+4h)(6-2x)}{(6-2x-2h)(6-2x)}-\frac{4x(6-2x-2h)}{(6-2x)(6-2x-2h)}}{h}\\lim_{h \to 0} \frac{(4x+4h)(6-2x)-4x(6-2x-2h)}{h(6-2x-2h)(6-2x)}\\lim_{h \to 0} \frac{24x-8x^2+24h-8xh-24x+8x^2+8xh}{h(6-2x-2h)(6-2x)}$

$lim_{h \to 0} \frac{24h}{h(6-2x-2h)(6-2x)}\\lim_{h \to 0} \frac{24}{(6-2x-2h)(6-2x)}$

Aplicando o limite

$f'(x) = \frac{24}{(6-2x)(6-2x)} = \frac{24}{(6-2x)^2}$

Simplificando

$f'(x) = \frac{24}{(6-2x)^2} = \frac{24}{(2(3-x))^2}=\frac{24}{4((3-x)^2)}=\frac{6}{(3-x)^2}$

Dá pra usar a regra do quociente também: considere f(x)=g(x)/h(x), então $f'(x)=\frac{g(x)'h(x)-g(x)h(x)'}{(h(x))^2}$

nesse caso temos

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{4x}{6-2x}\\g'(x)=4x\\h'(x)=-2$

Então

$f'(x)=\frac{g(x)h(x)-g(x)h(x)}{(h(x))^2}=\frac{4\times(6-2x)-4x\times(-2)}{(6-2x)^2}=\frac{24-8x+8x}{(6-2x)^2}=\frac{24}{(6-2x)^2}$

E dá pra simplificar do mesmo jeito para $f'(x)=\frac{6}{(3-x)^2}$