Question

Na lotérica, há um lote de 1.000 “raspadinhas” em que cada unidade é vendida a R$ 2,00, e cujos possíveis prêmios são: R$ 50,00, R$ 100,00 e R$ 500,00.
Sabendo disso, responda às seguintes questões:
a) Construa a distribuição de probabilidade para os possíveis lucros (ou resultados).
b) Utilizando a distribuição de probabilidades, encontre o valor esperado E(x).
c) Interprete o resultado obtido na alternativa anterior: espera-se ganhar ou perder quanto por cada “raspadinha” comprada?

Answer 1

Resposta:

letra a:

Ganho (x)                  R$ 498       R$ 98        R$ 48      - R$ 2

Probabilidade P(x)     1/1000        1/1000      1/1000     997/1000

letra b:

O valor esperado E(x) é de - R$ 1,35

letra c:

Espera-se perder R$ 1,35 em cada raspadinha

Explicação passo a passo:

Conforme o livro Estatística Aplicada 6 ed. de Larson e Farber. É só substituir os valores pelo exemplo da imagem.

Answer 2

a) Ganho (x)                  R$ 498       R$ 98        R$ 48      - R$ 2

   Probabilidade P(x)     1/1000        1/1000      1/1000     997/1000

b) O valor esperado E(x) é de - R$ 1,34

c) Espera-se perder R$ 1,34 em cada raspadinha

O calculo do valor esperado de um ganho lembra a idéia de  calcular a comprar todos os 1000 bilhetes do lote de raspadinhas.

Em resumo, ao comprar todos os bilhetes você:

• Gastará 2000 reais
• Ganhará 650 reais
• Terá prejuízo de 1350 reais

Calculo do ganho

Encontramos ganho de cada prêmio ao subtrair do valor do prêmio o valor pago no bilhete.

• Para o prêmio de 50 reais, o ganho será 50 - 2 = 48 reais
• Para o prêmio de 190 reais, o ganho será 50 - 2 = 98 reais
• Para o prêmio de 550 reais, o ganho será 50 - 2 = 498 reais
• E se você comprar um bilhete sem prêmio, seu ganho será de -2 reais.

Calculo da probabilidade de ganhar

Agora calculamos a probabilidade de ganhar um dos prêmios.

No lote de 1000 bilhetes, temos:

• 1 prêmio de 50 reais
• 1 prêmio de 100 reais
• 1 prêmio de 500 reais
• 997 bilhetes  sem prêmio.

Logo as probabilidades de ganho serão:

• $\dfrac{1}{1000}$ de ganhar 50 reais
• $\dfrac{1}{1000}$ de ganhar 100 reais
• $\dfrac{1}{1000}$ de ganhar 500 reais
• $\dfrac{997}{1000}$ de ganhar 0 reais

Valor esperado

O valor esperado é calculado a partir do produto entre o valor do prêmio  $\bf x$ e a probabilidade de ganhar$\bf P(x)$:

$E(x) = \sum x\cdotP(x)$

$E(x) = 50\cdot \dfrac{1}{1000} +100\cdot \dfrac{1}{1000} +500\cdot \dfrac{1}{1000} -2\cdot \dfrac{997}{1000}= -1,694 {\rm reais}$

Portanto o valor esperado é perder aproximadamente 1,34 reais por bilhete comprado

Repare que o valor esperado do ganho não bate exatamente com o valor calculado supondo que se compre todos os prêmios.

A ideia do valor esperado é fazer uma média entre uma grande quantidade de eventos diferentes. Neste caso, o evento é comprar um único bilhete de um lote de 1000 reais. Então repetir este evento seria ter outro lote com 1000 bilhetes identicos

Se você repetir este evento "infinitamente", você vai encontrar o valor esperado.

#SPJ2