Question

Na imagem ao lado, os vértices do quadrado DEFG estão sobre os lados do triângulo ABC. Sabendo que a diferença entre a área do triângulo e a área do quadrado é igual a 5 cm/2, escreva uma equação do 2° grau completa por meio da qual seja possível determinar o valor de x.

Answer 1

A equação que possibilita encontrar o valor de x é $x^2 + 23x - 78=0$.

Área de um Quadrado

A área de um quadrado pode ser obtida elevando a 2 a medida de seu lado, visto que todos os seus lados possuem a mesma medida.

Área de um Triângulo

A área de um triângulo corresponde à metade do produto entre a base a altura. Ou seja, sendo b a base, e h a altura, a área é dada por:

$A = \frac{b \cdot h}{2}$

Calculando a Área do quadrado

Pela imagem, sabe-se que o lado do quadrado mede $5 - x$, assim a medida de sua área será:

$(5-x)^2$

Calculando a Área do triângulo

A base do triângulo é $3x-6$ e sua altura é $x+3$, assim sua área será:

$\frac{(3x-6)\cdot (x+3)}{2}$

Pelo enunciado, sabe-se que a diferença entre as áreas é  5 cm², ou seja:

$\frac{(3x-6) \cdot (x+3)}{2} - (5-x)^2 = 5$

Para igualar os denominadores, suponha que $(5-x)^2$ e $5$ tenha denominador 1, e para igualá-los à primeira fração, vamos multiplicar numerador de denominador por 2, obtendo:

$\frac{(3x-6) \cdot (x+3)}{2} - \frac{2(5-x)^2}{2} = \frac{10}{2}$

Agora, eliminado os denominadores:

$(3x-6) \cdot (x+3) - 2\cdot (5-x)^2 = 10\\\\3x^2 + 9x - 6x - 18 - 2 \cdot (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2)=10\\\\3x^2 + 3x - 18 - 2 \cdot (25 - 10x + x^2) = 10\\\\3x^2 + 3x - 18 - 50 + 20x - 2x^2 = 10\\\\3x^2 - 2x^2 + 3x + 20x -18-50 = 10\\\\x^2 + 23x - 68 =10\\\\x^2 + 23x - 78 = 0$

Portanto, a equação completa que permite determinar o valor de x é $x^2 + 23x - 78=0$.

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