Question

Na função trigonometria
$y = - 3 + \sin(x - \frac{\pi}{4} )$
o período e o conjunto imagem são iguais, respectivamente, a:
a) 2pi e [-4;2]
b) 9pi/4 e [-1;1]
c) 2pi e [-1;1]​

Answer 1

Uma senoide (função envolvendo seno ou cosseno) é dada na forma:

$f(x)~=~a\,.\,sen(w.x+\theta)+b$

Neste modelo, temos:

$\rightarrow~a:~Amplitude~da~senoide\\\\\\\rightarrow~b:~Offset,~provoca~um~"deslocamento"~vertical~da~funcao\\~~~~~~~~~~~em~relacao~ao~eixo~"x"\\\\\\\rightarrow~\theta:~Fase,~provoca~um~"deslocamento"~horizontal~da~funcao~\\~~~~~~~~~~~em~relacao~ao~eixo~"y"\\\\\\\rightarrow~w:~Frequencia~Angular,~se~relaciona~ao~periodo~por:~T~=~\frac{2\pi}{w}$

Vamos então ver alguns exemplos antes de passarmos para a analise da função dada.

Estes exemplos serão feitos comparando-se com a função seno "pura",

f(x)=sen(x).

ex1.:

--> f(x) = 2.sen(x)

--> Essa função tem a = 2, ou seja, sua amplitude será o dobro da original.

--> No anexo1, em vermelho f(x)=sen(x) e em azul f(x)=2sen(x)

ex2.:

--> f(x) = sen(x) + 1

--> Essa função tem b = 1, ou seja, teremos um deslocamento vertical de uma unidade para cima (em relação ao eixo x).

--> No anexo2, em vermelho f(x)=sen(x) e em azul f(x)=sen(x)+1

ex3.:

--> f(x) = sen(2x)

--> Essa função tem ω = 2, ou seja, um período modificado para T=2π/2=π.

--> No anexo3, em vermelho f(x)=sen(x) e em azul f(x)=sen(2x)

ex4.:

--> f(x) = sen(x+π)

--> Essa função tem θ = π, ou seja, teremos um deslocamento horizontal de valor π para esquerda (em relação ao eixo y).

--> No anexo4, em vermelho f(x)=sen(x) e em azul f(x)=sen(x+π)

Vamos agora a função solicitada.

Podemos ver que na função dada há duas "modificações" em relação a f(x)=sen(x).

Temos:

$\rightarrow~b~=~-3\\\\\rightarrow~\theta~=~-\frac{\pi}{4}$

Teremos então a função seno "deslocada" 3 unidades para baixo (em relação ao eixo "x"), já que temos um offset de -3, e um "deslocamento" horizontal para a direita no valor de π/4 (em relação ao eixo "y"), já que temos fase de -π/4.

Como ω não sofreu modificações, o período da função dada permanece igual ao período da função seno "pura", o qual sabemos valer 2π.

A imagem, no entanto, será modificada. Sabemos que a imagem da função seno "pura" é o intervalo [-1 , 1], ou seja, a função atinge um pico (valor máximo) de +1 e um valor mínimo (vale) de -1.

Quando aplicamos um offset, estes valores (máximos e mínimos) são deslocados junto com a função e, sendo assim, o intervalo da imagem passa a ser:

$Im~=~[-1+offset~,~1+offset]\\\\\\Im~=~[-1+(-3)~,~1+(-3)]\\\\\\\boxed{Im~=~[-4~,~-2]}$

No anexo5, temos a função sen(x) em vermelho e a função "y" dada no enunciado em azul.

Resposta: Letra (a)