Question

Na figura, ̅̅̅̅ =̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, ou seja, as medidas dos segmentos

OA ,OB e OC são iguais. Os pontos A, O e D estão alinhados e os

pontos D e E no segmento BC são tais que

̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅, ou seja, as medidas dos

segmentos BD, DE, EC e OD são iguais.



a) (0,6 ponto) Calcule a medida do ângulo OD̂E.


b) (0,7 ponto) Calcule a medida do ângulo BÔE.


c) (0,7 ponto) Calcule a medida do ângulo BÂC.


por favor quem puder ajudar!!!

Answer 1

Primeiro precisamos marcar no desenho as medidas que são congruentes, assim podemos enxergar melhor o que está acontecendo. Veja a imagem

Observe que $\overline{OD} = \overline{OE} = \overline{DE}$, o que faz com que o triângulo $\Delta ODE$ seja equilátero e assim $O\hat{D}E = 60$

O ângulo $O\hat{D}B$, adjacente a $O\hat{D}E$ é o complementar de 60, logo ele vale:

180 - 60 = 120

O triângulo $\Delta B\hat{O}D$ é isósceles, pois $\overline{OD} = \overline{BD}$. Sabemos que a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180, como ele é isósceles, se chamamos os outros ângulos de x, temos que:

$x + x + 120 = 180\\2x = 180 - 120\\2x = 60 \\x = 30$

Assim descobrimos que o ângulo $B \hat{O} D = 30$ e:

$B \hat{O} E = B\hat{O} D + D\hat{O}E\\B\hat{O}E = 30 + 60\\B\hat{O}E = 90$

O triângulo $\Delta ABC$ é também isósceles pois $\overline{AB} = \overline{AC}$, o que significa que os ângulos $A \hat{B}C = A\hat{C}B$. Como A, O e D são pontos colineares, temos que $B \hat{O}A$ é ângulo externo do triângulo $\Delta OBD$ e pelo Teorema do Ângulo Externo ele vale a soma dos ângulos internos não adjacentes desse triângulo, ou seja, sua medida será 120 + 30 = 150.

Como $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$, os triângulos $\Delta AOB$ e $\Delta AOC$ são isósceles. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 e um deles vale 150, temos que:

$150 + x + x = 180\\150 + 2x = 180\\2x = 30\\ x = 15$

E por fim, como o ângulo $B \hat{A}C$ é formado por dois ângulos de 15, logo sua medida é 30.