Na figura, M, N, P e Q são os pontos medios dos lados do quadrado ABCD de lado 2 cm. Os arcos de circunferência que tangenciam a circunferência de centro O têm centros nos vértices do quadrado. A área do círculo, em cm², é:
a) π
b) π (√2 - 1)²
c) π√2
d) π (√2+1)²
e) 2π
Soluções para a tarefa
Bom dia, essa pergunta esta mal elaborada, se os arcos que tangenciam a circunferencia de centro O, e passam pelos pontos medio dos quadrados MNPQ, temos como resolver, pois a questão nao cita nada, esse arco pode ter centro nos vertices ABCD do quadrado e qualquer raio, o que torna impossivel resolução.
Tomando como verdade que os arcos passam pelos pontos MNPQ, segue a resolução:
Se AB é um lado do quadrado e mede 2cm, e M é seu ponto médio, entao de A até M temos 1 cm, portanto o raio do arco tera 1 cm se ligarmos um segmento de A até o centro da circunferencia O, o ponto de tangencia do arco com a circunferencia chamaremos de Z, entao de A até Z temos 1 cm que é o raio do arco, como temos 4 arcos com mesmo raio e centro nos vertices do quadrado temos que o centro da circuferencia é tambem o centro do quadradro, assim o segmento AO é a metade da diagonal do quadrado.
Calculando a diagonal do quadrado:
Temos os que os dois lado do quadrado mede cada um 2 cm e entre eles tem um angulo de 90º, formam com a diagonal um triangulo retangulo, pelo teorema de Pitágoras acharemos o valor da diagonal que e a hipotenusa do triangulo retangulo, a²=b²+c²
a²= 2²+2²
a²=8
a=√8
a= 2√2
Precisamos da metade da diagonal, se a diagonal mede 2√2 basta dividir esse valor por 2 e teremos a metade da diagonal que é o segmento AO
AO=2√2/2
AO=√2
AZ mede 1 cm, e AO mede √2, assim para achar o raio da circunferencia basta diminuir AO de AZ, para achar o tamanho do segmento ZO, assim
ZO=√2-1
A area dessa circunferencia sera A=r²
ZO e o raio da circunferencia, portanto mede √2-1,
A=(√2-1)²
Letra b