Question

na figura, M é ponto médio de QR, o mesmo acontecendo com N em relação a PR. Se PM=√73 cm e QN=2√13 CM, quanto mede o maior lado do triangulo PQR?

Answer 1

Chame:
PQ = k ; PN = a: NR = a ; RM = b ; MQ = b
Chma de G o ponto de interseção das medianas
Sendo QN mediana, Faça NG = x e GQ = 2x ; Teorema das medianas.
Faça GM = y e GP = 2y

K² = 4a² + 4b² => k² = 4(a² + b²) ; ( I)

4a² + b² = (3y)² => 4a² + b² = 9y² ; ( II )
4b² + a² = (3x)² => 4b² + a² = 9x² ; ( III )

Somando membro a membro II e III
4a² + b² + 4b² + a² = 9y² + 9x²
5a² + 5b² = 9x² + 9y² => 5(a² + b²) = 9(x² + y²) => a² + b² = 9(x² + y²)/5 ; (IV)

Subst. IV e I

K² = 4[9(x² + y²)/5 => k² = 36(x² + y²)/5 ; ( V )

Mas, 3x = 2√13 => x = 2√13 / 3

3y = √73 => y = √73/3

Substituindo x e y em V, vem:

$k^2=\frac{36[( \frac{2 \sqrt{13} }{3} )^2+ ( \\ \\\frac{ \sqrt{73}}{3} )^2}{5} \\ \\ k^2= \frac{36( \frac{52}{9}+ \frac{73}{9)} }{5} = \frac{36* \frac{125}{9} }{5} = \frac{36*125}{45} = \frac{4*125}{5} =4*25 \\ \\ k = \sqrt{100} \\ \\ k = 10 cm$

Answer 2

PN = NR
PN=B NR=B

QM=MR
QM=A
MR=A

aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos PRM e QRN

A^2 + (2B)^2 = (√73)^2
(2A)^2+ B^2 =(2√13)^2

A^2 + 4B^2 =73 (I)
4A^2 + B^2 = 52 (II)

multiplicando (I) por -4 temos o sistema:
-4A^2 - 16B^2 = -292
4A^2 +B^2 =52
15B^2= 240
B^2= 240/15= 16
B= √16= 4
PR= 2B= 8

Multiplicando (II) por -4 temos o sistema:
A^2 + 4B^2=73
-16A^2 - 4B^2 = -208
-15A^2 = -135
A^2 = 135/15 = 9
A = √9 = 3
QR = 2A = 6

lado maior do triângulo= hipotenusa
hipotenusa = √(8^2+6^2)= √100 = 10

lado maior do triângulo PQR = 10cm