Question

Na figura, calcule o valor de X, Y e Z. Urgente!!

Answer 1

De acordo com os cálculos abaixo, os valores de x, y e z são, respetivamente, 24º, 48º e 72º.

Para resolver este exercício, há que relembrar as Propriedades dos Ângulos Excêntricos de uma Circunferência:

$\text{Numa circunfer}\hat{\text{e}}\text{ncia que possua um }\hat{\text{a}}\text{ngulo exc}\hat{\text{e}}\text{ntrico ACE, com v}\acute{\text{e}}\text{rtice}\\\text{fora desta, e que a intersete nos pontos A, B, D e E, tem-se que:}\\\\\boxed{A\hat{C}E=\dfrac{\stackrel{\frown}{AE}-\stackrel{\frown}{BD}}{2}}$

Exemplo:

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.78,2.78)(0,3)\bezier(0,3)(2.78,2.78)(3,0)\bezier(3,0)(2.78,-2.78)(0,-3)\bezier(0,-3)(-2.78,-2.78)(-3,0)\put(-3.5,-1){\line(6,1){9}}\put(5.5,0){\line(-6,1){9}}\put(-2.9,1.6){\text{A}}\put(3.1,0.5){\text{B}}\put(4,-0.2){\text{C}}\put(3,-0.4){\text{D}}\put(-3.2,-1.3){\text{E}}\end{picture}$

$\text{Numa circunfer}\hat{\text{e}}\text{ncia que possua um }\hat{\text{a}}\text{ngulo exc}\hat{\text{e}}\text{ntrico ACE, com v}\acute{\text{e}}\text{rtice}\\\text{dentro desta, e que a intersete nos pontos A, B, D e E, tem-se que:}\\\\\boxed{A\hat{C}E=\dfrac{\stackrel{\frown}{AE}+\stackrel{\frown}{BD}}{2}}$

Exemplo:

$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.78,2.78)(0,3)\bezier(0,3)(2.78,2.78)(3,0)\bezier(3,0)(2.78,-2.78)(0,-3)\bezier(0,-3)(-2.78,-2.78)(-3,0)\put(-3.5,-2){\line(3,1){8}}\put(4.5,-1){\line(-3,1){8}}\put(-2.9,1.6){\text{A}}\put(3.1,0.4){\text{B}}\put(1.9,0){\text{C}}\put(3,-1){\text{D}}\put(-2.7,-2.1){\text{E}}\end{picture}$

Com estas propriedades, podemos definir equações para y e para z:

   $y=\dfrac{\stackrel{\frown}{AB}-\stackrel{\frown}{CD}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{5x-x}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{4x}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=2x$

   $z=\dfrac{\stackrel{\frown}{AB}+\stackrel{\frown}{CD}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\dfrac{5x+x}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=\dfrac{6x}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow z=3x$

Para calcular o valor de x, sabemos que:

   $x+3x+5x+6x=360^\circ\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4x+5x+6x=360^\circ\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 9x+6x=360^\circ\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 15x=360^\circ\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{360^\circ}{15}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=24^\circ$

Com o valor de x, podemos determinar y e z:

$y=2x=2\times24^\circ=48^\circ$

$z=3x=3\times24^\circ=72^\circ$

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