Question

Na figura, [ABCD] é um quadrado de lado 1m, CE e FH são arcos de circunferência de centro A e [AEFD] e [AHGD] são retângulos.
Determina o valor exato da área do retângulo [EHGF].

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

    Como CE se trata de uma circunferência é correto afirmar que a diagonal AC é o raio da circunferência CE. Note que essa diagonal ( AC ) forma um triângulo retângulo com os lados AB e BC, portanto usaremos o teorema de Pitágoras para determinar o valor da diagonal que é o justamente o raio da primeira circunferência:

    Como os lados AB e BC medem 1m, teremos:

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

    $(AC)^{2}=1^{2}+1^{2}$

    $(AC)^{2}=1+1$

    $(AC)^{2}=2$

    $AC=\sqrt{2}$

    Agora que encontramos o raio da primeira circunferência, basta notar que essa circunferência sege até o ponto E, portanto é correto afirmar que o segmento AE é ( assim como o segmento AC ) o raio dessa circunferência e como o raio mede $\sqrt{2}$ m, então o segmento AE = $\sqrt{2}$. O segmento EF = 1m, pois a altura desse retângulo é 1m então agora nós vamos descobrir o valor da segunda diagonal ( AF ) que é o raio da segunda circunferência. ( AE ), ( EF ) e ( AF ) formam outro triângulo retângulo onde ( AF ) é a hipotenusa. Aplicamos novamente o teorema de Pitágoras:

    $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

    $(AF)^{2}=(\sqrt{2})^{2}+1^{2}$

    $(AF)^{2}=2+1$

    $(AF)^{2}=3$

    $AF=\sqrt{3}$

    Então o raio da segunda circunferência é igual a $\sqrt{3}$, por isso o segmento AH = $\sqrt{3}$. A altura do retângulo (EHGF) mede 1m e para descobrir o valor da base desse retângulo basta subtrais o segundo raio menos o primeiro raio, ou seja:

    $b=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

    E esse é o valor exato da base do retângulo (EHGF). A área desse retângulo será base x altura:

    $A=b*h$

    $A=(\sqrt{3}-\sqrt{2})*1$

    $A=(\sqrt{3}-\sqrt{2})m^{2}$