Question

Na figura abaixo, considere o hexágono regular SH, de vértices ABCDEF. Se o quadrilátero de cor cinza SQ, de vértices ACDE, tem área igual a 43 cm2, determine:

a) A área SH do hexágono ABCDEF.

b) O perímetro do quadrilátero ACDE.
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Answer 1

A área do hexágono é 6√3 cm² e o perímetro do quadrilátero é 4 + 4√3 cm.

Como achar a área e o perímetro?

Em um hexágono regular, a medida de cada ângulo internos é igual a 120º e a medida dos lados também são iguais.

Com isso em mente, olhando o triângulo AEF, sabemos que:

• é um triângulo isósceles
• o ângulo F mede 120º

Como  a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que os ângulos FÊA e FÂE medem 30º cada um.

Agora olhando para o ângulo FÊD, vemos que ele é a soma dos ângulos FÊA e AÊD, então:

FÊD = FÊA + AÊD

120° = 30° + AÊD

AÊD = 120° - 30°

AÊD = 90°

Sendo assim, AÊD é um ângulo reto, com isso temos que o triângulo AED seja um triângulo retângulo.

No triângulo AED, como está dividindo o ângulo $\hat{D}$ = 120° ao meio, temos que $A\hat{D}E$ vale 60º e EÂD vale 30°.

Quando temos um triângulo retângulo com ângulos iguais a 30º, 60º e 90º, temos as seguintes propriedades:

• o cateto oposto ao ângulo de 30º mede a metade da hipotenusa
• o cateto oposto ao ângulo de 60° mede a metade da hipotenusa multiplicado por √3.

Então, na questão se ED vale x, AE irá valer x√3.

Como a área do triângulo AED é metade da área cinza, podemos achar o valor de x que corresponde ao lado do hexágono:

$A = \frac{b\times h}{2}\\ \\2\sqrt{3} =\frac{x \times x \timesx\sqrt{3} }{2} \\\\x^{2} \sqrt{3}=4\sqrt{3}\\ \\ x^{2} =4\\\\x=2$

Achamos o valor do lado do hexágono. Agora para calcular a área basta usar a fórmula:

$A = \frac{3 \times l^{2}\times\sqrt{3} }{2} \\\\A = \frac{3 \times 2^{2}\times\sqrt{3} }{2} \\\\A = \frac{12\sqrt{3} }{2}=6\sqrt{3}$

Então a área é igual a 6√3 cm²

O perímetro de ACDE é a soma dos lados desse quadrilátero, então:

P = AE + ED + DC +CA

P = 2√3 + 2 + 2 + 2√3

P = 4 + 4√3 cm

O perímetro do quadrilátero ACDE é 4 + 4√3 cm.

Saiba mais sobre hexágono em: https://brainly.com.br/tarefa/50921615

#SPJ1