Question

Na figura abaixo, as retas r e s são definidas por y = 3x + 3 e y = −3x + 3, respectivamente.
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De todos os retângulos que têm um lado contido em MN , um vértice em MP e outro em NP , considere aquele que tem a maior área

Answer 1

Usando sua figura, eu desenhei um retângulo genérico, de lados a e b.

( Figura 1 )

Primeiramente, eu vou demonstrar que para que esse retângulo tenha a maior área, ele deve ser um quadrado.

Primeiramente, note que a e b são, necessariamente, maiores que 0, umas vez que eles representam lados de um retângulo.

Visto isso, podemos exprimir esse valor :

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$

Elevando toda essa equação ao quadrado, teremos :

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}$

Agora, perceba que por estarmos tratando do quadrado de um número, esse é obrigatoraimente maior ou igual a  zero, ou seja:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$

Daí, teremos que

$a + b -2\sqrt{ab} \geq 0$

Rearranjando a inequação, teremos :

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Sendo que a igualdade só irá ocorrer quando a = b .

Perceba que ab é a área do retângulo, ou seja ab será máximo quando a for igual a b.

Agora entendido que o retângulo de maior área é um quadrado, podemos fazer a figura 2

Agora iremos utilizar as equações das retas.

Note pela equação da reta r : y = 3x + 3 que quando a reta tocar o eixo x, ou seja, y = 0, o x vai ser - 1/3.

Além disso é importante saber que a tagente ou o coeficiente angular dessa reta é 3, porque na figura 3 iremos formar um triangulo retângulo e com auxilio desse, calcular o lado do quadrado.

Note pela figura 3 que como a tangente de "theta" é 3, que corresponde ao coeficiente angular da reta r, podemos equacionar:

$\frac{a}{\frac{1}{3}-\frac{a}{2} } = 3$

Resolvendo essa equação, veremos que a = 2/5

Portanto a área do retangulo de maior área ( quadrado ) é 4/25.

Resposta final : 4/25