Question

Na figura abaixo, ABCD é um trapézio com base AB e CD medindo 30 cm e 18 cm respectivamente. Os pontos E e F estão nos lados AD e BC de ABCD, respectivamente, sendo que EF é paralelo a AB e DE =5.AE. Os pontos Ge H estão no lado AB de ABCD, sendo que os segmentos de reta DG e CH são perpendiculares a AB. Os pontos I e J são os pontos de interseção de DG e CH com EF, respectivamente. 1) Mostre que EI = 5/6 AG 2) Mostre que CF = 5.BF 3) Calcule a medida do segmento de reta EF.

Answer 1

1. Como $EF$ é paralelo a $AB$, e $DG$ e $CH$ são perpendiculares a $AB$ então $GHIJ$ é um retângulo e, portanto, $\widehat{DIE}=\widehat{AGD}=90^\circ$. Como $EF$ é paralelo a $AB$, então $\widehat{DEI}=\widehat{DAG}$. Como $\widehat{DIE}=\widehat{AGD}$ e $\widehat{DEI}=\widehat{DAG}$, então os triângulos $DIE$ e $DGA$ são semelhantes, pelo caso de semelhança AA. Como $DIE$ e $DGA$ são semelhantes, então $\dfrac{EI}{AG}=\dfrac{DE}{AD}$. Como $DE=5\cdot AE$, então $AD=AE+DE=6\cdot AE$. Como $\dfrac{EI}{AG}=\dfrac{DE}{AD}$, $DE=5\cdot AE$ e $AD=6\cdot AE$, então $EI=\dfrac{5}{6}\cdot AG$.

2. Como as retas $AB$, $EF$ e $CD$ são paralelas, pelo Teorema de Tales, $\dfrac{C}{BF}=\dfrac{DE}{AE}=5$ e, logo, $CF=5\cdot BF$.

3. Como, pelo item (b), $CF=5\cdot BF$, usando o mesmo raciocínio do item (a), mostra-se que $FJ=\dfrac{5}{6}\cdot BH$. Como $GHIJ$ é um retângulo (conforme observado no item (a)), então $IJ=GH$. Como $EF$ é paralelo a $CD$, e $DG$ e $CH$ são perpendiculares a $CD$, então $DIJC$ é um retângulo e, logo, $IJ=CD=18$. Como $IJ=GH$ e $IJ=18$, então $IJ=GH=18$. Como $EI=\dfrac{5}{6}\cdot AG$ (pelo item (a)), $FJ=\dfrac{5}{6}\cdot BH$, $IJ=18$ e $EF=EI+IJ+FJ$, então $EF=18+\dfrac{5}{6}\cdot(AG+BH)$. Como $GH=18$ e $AG+GH+BH=AB=30$, então $AG+BH=12$. Como $EF=18+\dfrac{5}{6}\cdot(AG+BH)$ e $AG+BH=12$, então $EF=28$ cm.

Answer 2

A figura está em anexo.

1) Note que o triângulo EID é semelhante ao triângulo AGD pois seus ângulos internos são iguais. Desta forma, o lado EI é proporcional ao lado AG da mesma forma que o lado DE é proporcional ao lado DA. Pelo enunciado, DE = 5.AE, então DA = 6.AE podemos escrever:

EI/AG = DE/DA

EI/AG = 5.AE/6.AE

EI/AG = 5/6

EI = (5/6).AG

 

2) Pelo teorema de Tales, a regra de proporção é bem parecido com a semelhança de triângulos.  O lado CF é proporcional ao lado FB da mesma forma que o lado DE é proporcional ao lado AE. Assim, teremos

CF/DE = BF/AE

CF/5.AE = BF/AE

Multiplicando ambos os lados por AE, temos:

CF/5 = BF

CF = 5.BF

3) EF pode ser escrito como a soma de EI + IJ + JF, sendo IJ = CD = 18 cm. O segmento AB, paralelo a EF, pode ser escrito como a soma de AG + GH + HB, sendo GH = 18 cm. Se GH = 18 e  AB = 30, então AG + HB = 12. Pelo item B, CF = 5.BF, então se aplicarmos o Teorema de Tales, veremos que JF = (5/6)HB. Sendo EI = (5/6)AG e JF = (5/6)HB, temos:

EF = (5/6)AG + 18 + (5/6)HB

EF = 18 + (5/6)(AG + HB)

EF = 18 + (5/6)*12

EF = 28 cm