Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e as distâncias dos vértices A, B e C ao segmento JG valem 2, 4 e 5 metros, respectivamente. Encontre a distância do vértice D ao segmento JG.
Soluções para a tarefa
Uma das consequências do Teorema de Tales é que "segmentos de paralelas cortados por paralelas são iguais".
Então, vamos traçar paralelas à direção GJ pelos pontos A e C, e marcarmos sobre estas paralelas os pontos de encontro com os segmentos BG e DI, aos quais vamos chamar respectivamente de B' e D'.
A distância da paralela conduzida por A até JG é igual a 2 m, de acordo com o enunciado. Então, a distância B'G também será 2 m e, como consequência:
BB' = BG - B'G
BB' = 4 m - 2 m
BB' = 2 m
Vamos agora considerar os triângulos ABB' e CDD':
- São triângulos retângulos em B' e D';
- AB e CD são suas hipotenusas e têm a mesma medida (lados opostos do retângulo);
- Os ângulos BAB' e DCD' são congruentes;
- Os ângulos B'BA e D'DC são também congruentes.
Então, os triângulos ABB' e CDD' são congruentes (ALA). Como consequência:
BB' = DD' = 2 m
A distância do ponto D até o segmento JG é DI:
DI = DD' + D'I
Como
D'I = CJ (paralelas compreendidas entre paralelas)
D'I = 5 m
E, assim,
DI = 2 m + 5 m
DI = 7 m
R.: A distância do vértice D ao segmento GJ (DI) é igual a 7 m.
A distância do vértice D ao segmento JG é igual a 7.
Ao traçarmos o segmento perpendicular à reta DI passando por C, obtemos o triângulo retângulo CDK.
Faremos o mesmo com o ponto A e a reta BG. Assim, teremos o triângulo retângulo ABL, como mostra a figura abaixo.
Temos a informação de que o quadrilátero ABCD é um retângulo.
Então, é verdade que os lados CD e AB são paralelos.
Além disso, da figura, temos que os segmentos DI e BG são paralelos também.
Logo, podemos afirmar que os triângulos ADK e ABL são iguais. Sendo assim, DK = BL.
Vamos partir da afirmação de que DK = BL.
Da figura, temos que DI = DK + KL. Então, DK = DI - KL.
Da mesma forma, BG = BL + LG. Daí, BL = BG - LG. Só que KI = CJ = 5 e LG = AH = 2.
Portanto, podemos afirmar que:
DI - KL = BG - LG
DI - 5 = 4 - 2
DI = 2 + 5
DI = 7.
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