Question

Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo CÂB = 30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é: a) aJ . b) aJ ■ c) aJl . d) aV2 .

Answer 1

Para respondermos a questão precisaremos utilizar as leis dos senos e dos cossenos.

Chamaremos o seguimento CE de x e ED de b.

Os seguimentos ED e EB são iguais devido ao triangulo ser isósceles. Logo, EB = b.

Podemos relacionar a partir da lei dos senos os valores de 'a' e 'b'.

$\frac{a}{sen 120\º} = \frac{b}{sen (30\º)}$

Sendo sen 120º = (√3)/2 e sen30 = 1/2, temos:

$\frac{a}{\frac{\sqrt(3)}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

$b = \frac{a}{\sqrt(3)}$

Portanto, para o triângulo BCE, o lado BC mede 2b e podemos calcular x a partir da lei dos cossenos. Sabendo que o ângulo CB^E = 120º.

$x^{2} = (2b)^{2} + b^{2} -2(b)(2b)cos(120\º)$
$x^{2} = 5b^{2} -4b^{2}cos(120\º)$
$x^{2} = 5b^{2} -4b^{2}(-0.5)$
$x^{2} = 7b^{2}$

Sendo $b = \frac{a}{\sqrt(3)}$, temos:

$x^{2} = 7(\frac{a}{\sqrt(3)})^{2}$
$x = a\sqrt{\frac{7}{3}}$

Portanto, a alternativa correta é a letra C. Espero ter ajudado. Bons estudos.

Answer 2

O comprimento do segmento CE é a√(7/3).

De acordo com o enunciado, o ângulo CAB mede 30º. Como o triângulo ABC é isósceles, então o ângulo CBA também mede 30º.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Então, o ângulo ACB mede 120º.

Consequentemente, os ângulos EBD e EDB medem 30º e o ângulo BED mede 120º, uma vez que os triângulos ABC e BDE são semelhantes.

Observe o que diz a Lei dos Senos:

• As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos ângulos opostos na mesma razão do diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo.

Utilizando a Lei dos Senos no triângulo BDE, obtemos:

BE/sen(30) = a/sen(120)

BE.sen(120) = a.sen(30)

BE.√3/2 = a.1/2

BE.√3 = a

BE = a/√3.

Utilizando a Lei dos Senos no triângulo ABC, obtemos:

BC/sen(30) = 2a/sen(120)

BC.sen(120) = 2a.sen(30)

BC.√3/2 = 2a.1/2

BC.√3 = 2a

BC = 2a/√3.

Note que, no triângulo BCE, o ângulo B é igual a 120º.

Observe o que diz a Lei dos Cossenos:

• Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado.

Utilizando a Lei dos Cossenos no triângulo BCE, podemos concluir que o segmento CE mede:

CE² = BC² + BE² - 2.BC.BE.cos(120)

CE² = 4a²/3 + a²/3 - 2.(2a/√3).(a/√3).(-1/2)

CE² = 5a²/3 + 2a²/3

CE² = 7a²/3

CE = a√(7/3).

Alternativa correta: letra c).

Para mais informações sobre a Lei dos Senos: https://brainly.com.br/tarefa/19018218