Question

Na figura, ab é o diametro da circunferência de centro O. A altura relativa a hipotenusa do triangulo retangulo abc mede 18 cm, e H é o ponto médio de OB. Determine o raio dessa circunferência.

Answer 1

$Ol\'a$

$Observe \ as \ imagens \ anexadas.$

$Se \ fizermos \ uma \ reta \ entre \ os \ pontos \ C \ e \ O, \ formaremos \ um\\ tri\^{a}gulo \ equil\'atero \ COB \ (Primeira \ Imagem).$

$Como \ esse \ tri\^{a}gulo \ \'e \ equilatero, \ as \ medidas \ de \ seus \ lados \ s\~ao\\ iguais, \ e \ portanto \ seus \ \^{a}ngulos \ tamb\'em \ ser\~{a}o. \ se \ a \ soma \ dos\\ \a^{a}ngulos \ internos \ de \ um \ tri\^{a}ngulo \ resultam \ em \ 180, \ cada \ \^{a}ngulo\\ medir\'a \ 60 \º ( Segunda \ imagem).$

$A \ altura \ H \ divide \ o \ \^{a}ngulo \ de \ 60\º \ na \ metade \ formando \ um \ \^{a}ngulo\\ de \ 30\º \ (Terceira \ imagem)$

$A \ altura \ relativa \ a \ hipotenusa \ do \ tri\^{a}gulo \ equil\'atero \ ABC \ se \ refere\\ ao \ segmento \ de \ reta \ \overline{HC}, \ que \ vale \ 18 \ cm \ conforme \ o \ enunciado, \\ portanto:$

$sen60\º= \frac{Cateto \ Oposto}{Hipotenusa}$

$\frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{18}{ Hipotenusa}$
                           
$Hipotenusa \ .\ \sqrt{3} = 2 \ . \ 18$

$Hipotenusa= \frac{36}{ \sqrt{3} }$

$Hipotenusa= \frac{36}{ \sqrt{3} } \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{3}$

$Hipotenusa= \frac{36 \ . \ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} \ . \ \sqrt{3} }$

$Hipotenusa= \frac{ 36 \ . \ \sqrt{3} }{ \sqrt{9} }$

$Hipotenusa= \frac{36 \ . \ \sqrt{3} }{3}$

$Hipotenusa= 12. \sqrt{3}$

$Como \ o \ tri\^{a}ngulo \ \'e \ equil\'atero, \ a \ medida \ da \ hipotenusa \ representa\\ tamb\'em \ a \ medida \ dos \ demais \ lados, assim \ sendo, \ a \ base \ do\\ tri\^{a}ngulo \ \'e \ o \ mesmo \ que \ o \ raio \ e \ medir\'a \ 12.\sqrt{3}$