Na figura a seguir, o ponto P não é fixo e pode ocupar uma posição qualquer desde que PA e PB sejam sempre cordas do círculo de diâmetro AB. Note ainda, na figura, os semicírculos de diâmetros PA e PB.
Adote a seguinte notação: XY = medida ou comprimento de XY
A soma das áreas das duas regiões sombreadas nessa figura será máxima quando:
a) AB²= 2·PA · PB
b) PB=AB/2 ou PA=AB/2
c) PA + PB = AB · √3
d) AB = √PA·PB
e) PA + PB > AB·√2
Soluções para a tarefa
Como um dos lados desse triângulo coincide com o diâmetro da circunferência, ele é um triângulo retângulo.
Sobre cada cateto desse triângulo retângulo temos uma semicircunferência.
As partes sombreadas são lúnulas.
Para não perdermos tempo com cálculo, partimos para a teoria:
"A soma das áreas das lúnulas é igual a área do triângulo."
Portanto, o que vamos descobrir é "quando é que a área do triângulo será máxima?"
A área do triângulo ABP é:
A = PA·PB/2 (I)
Como o triângulo é retângulo em P, sua hipotenusa mede 2R. Logo, a área desse triângulo é:
A = 2R·H/2
A = R·H
Como R é fixo, esse triângulo terá a maior área quando H for máximo.
Utilizando as relações métricas no triângulo retângulo, temos:
H² = (2R - x)·x
H² = 2Rx - x²
H² = - x² + 2Rx
O máximo de uma função de 2° grau é o Yv.
H²máx = - Δ/4a
H²máx = - (2R²) - 4·(-1)·0 / 4·(-1)
H²máx = - 4R² - 0 / - 4
H²máx = - 4R²/- 4
H²máx = R²
Hmáx = R
Portanto, a altura será máxima quando for igual ao raio.
Substituindo na equação da área, temos:
A = R·H
A = R·R
A = R² (II)
Igualando (I) e (II), temos:
PA·PB/2 = R²
O raio é igual à metade de AB, ou seja, R = AB/2. Portanto:
PA·PB/2 = (AB/2)²
PA·PB/2 = AB²/4
AB² = 4·PA·PB/2
AB² = 2·PA·PB
Alternativa A.
