Question

Na figura a seguir, M é ponto médio do lado BC do quadrado ABCD. Os segmentos AC e DM são concorrentes no ponto P e a área do triângulo PCD é 14. O objetivo dessa questão é determinar a área do quadrilatero ABMP. Mas para isso, resolva os seguintes itens.

(a) Mostre que a área do triângulo BCP é 14.

(b) Calcule a área do triangulo MCP.

(c) Calcule a área do triângulo MCD.

(d) Calcule a área do quadrado ABCD.

(e) Calcule a área do triângulo ABC.

(f) Calcule a área do quadrilátero ABMP.​​

Answer 1

Dessa forma, a resolução dos itens será:

(a) na resolução do problema vemos que de fato a área do triângulo BCP é igual a 14.

(b) Calculando a área do triângulo MCP encontramos 7.

(c) Calculando a área do triângulo MCD encontramos 21.

(d) Calculando a área do quadrado ABCD encontramos como solução 84.

(e) Calculando a área do triângulo ABC encontramos 42.

(f) Calculando a área do quadrilátero ABABM encontramos 35.

Expressão para encontrar a área do quadrado.

Observando as imagens, utilizaremos como base para resolução desse problema, onde o quadrado ABCD tem lado L.

Sabemos que para o cálculo da área de um triângulo qualquer podemos usar a seguinte fórmula:

$\boxed{A=\frac{a*b*sen(\alpha )}{2}}$

Onde:

• a e b são os lados do triângulo
• $sen(\alpha )$ é o seno do ângulo entre esses dois lados

Reescrevendo o seguimento PC em função do lado L.

Na figura, adotaremos x como o seguimento PC. Portanto usando a fórmula anterior, podemos colocar x em função de L.

$\boxed{\boxed{A_{PCD} = \frac{x*L*sen(45^{o}) }{2}}}$

Porém, sabemos que:

• $\bold{A_{PCD} = 14}$
• $\bold{sen(45^{o})=\frac{\sqrt{2}}{2} }$

$14=\frac{x*L*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\28=\frac{x*L*\sqrt{2}}{2} \ \ \rightarrow \ \boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}\\ \\ \therefore \ \bold{PC=\frac{28\sqrt{2}}{L}}$

(a) Dada a (Figura 2) percebemos que PCD é homólogo ao triângulo BCP, mas para provar devemos recorrer ao cálculo seguinte:

$A_{BCP} = \frac{x*L*sen(45^{o}) }{2}, \ onde \ \boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}\\ \\A_{BCP} =\frac{\frac{28\sqrt{2}}{L}*L*\frac{\sqrt{2}}{2} }{2} \\A_{BCP} = \frac{28}{2} \\ \\\therefore \ \boxed{A_{BCP} =14}$

(b) Munidos dessas informações agora podemos, calcular o valor da área do triângulo MCP.

$A_{MCP}=\frac{x*MC*sen(45^{o})}{2} \\ \\A_{MCP} = \frac{x*\frac{L}{2}*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\ \\A_{MCP} =\frac{x*L*\sqrt{2}}{8}, \ mas \ \bold{x=\frac{28\sqrt{2} }{L}}\\ \\ A_{MCP} =\frac{\frac{28\sqrt{2}}{L}*L*\sqrt{2}}{8} \\ \\ \boxed{A_{MCP} =7}$

(c) Para calcular a área MCD, basta somarmos a área PCD com MCP, calculada no item (b). Portanto:

$A_{MCD}=A_{PCD}+A_{MCP}\\A_{MCD}=14+7\\ \\\boxed{A_{MCD}=21}$

Calculando a área do triângulo ABP.

Antes de calcularmos a área do quadrado precisamos antes calcular a área do triângulo ABP.

Onde:

AC é diagonal triângulo e precisamos encontrar AP  em função de L.

 $AC = AP+PC, \ mas \ \ \bold{AC=L\sqrt{2}} \ \ e \ \ \bold{PC=x}\\L\sqrt{2}=AP+x, \ onde \ ... \ \ x=\frac{28\sqrt{2} }{L} \\ \\AP=L\sqrt{2}-\frac{28\sqrt{2} }{L}\\ \\\therefore \ \boxed{AP=\frac{\sqrt{2}}{L}(L^{2}-28) }$

Agora calculando  a área ABP temos:

$A_{ABP} = \frac{AP*L*sen(45^{o}) }{2}\\ \\A_{ABP} = \frac{\frac{\sqrt{2} }{L}(L^{2}-28)*L*\frac{\sqrt{2} }{2} }{2} \\ \\\boxed{A_{ABP} = \frac{L^{2}-28}{2} }$

Calculando a área BMP:

$A_{BMP}=A_{BCP}-A_{MCP}\\A_{BMP}= 14-7\\ \\\therefore \ \boxed{A_{BMP}=7}$

Para encontrarmos o valor de L, precisamos de outra forma de escrever x e igualar os valores encontrados. Portanto, por semelhança de triângulos APD e MCP são opostos pelo vértice, então temos:

                                         $\boxed{\boxed{\frac{AP}{PC}=\frac{AD}{MC}} }$

• $\bold{AP} = L\sqrt{2}-x$
• $\bold{PC}=x$
• $\bold{AD}=L$
• $\bold{MC}=\frac{L}{2}$

Substituindo na razão acima:

$\frac{L\sqrt{2} -x}{x} =\frac{L}{\frac{L}{2} } \\ \\\frac{L\sqrt{2}-x }{x} =2 \\ \\L\sqrt{2}-x =2x \ \ \rightarrow 3x=L\sqrt{2} \ \ \therefore \ \boxed{\boxed{x=\frac{L\sqrt{2} }{3} }}$

Mas, encontramos anteriormente que x também assume o seguinte valor:

$\boxed{x=\frac{28\sqrt{2}}{L}}$

Portanto igualando as duas equações temos:

$\frac{28\sqrt{2}}{L}=\frac{L\sqrt{2}}{3} \\\\L^{2}=3*28\ \ \ \therefore \boxed{\boxed{L=\sqrt{84}}}$

Solucionando nossos itens (d), (e) e (f).

Agora substituindo o valor de L nas equações anteriores temos:

A área ABP;

                                         $\boxed{A_{ABP} = \frac{L^{2}-28}{2} }$    

$A_{ABP} = \frac{(\sqrt{84} )^{2}-28}{2} \\ \\A_{ABP} = \frac{84-28}{2} \ \ \ \rightarrow \ \ \boxed{A_{ABP}=28}$

Assim, podemos calcular o item (d), (e) e (f)

(d) Calculando a área do quadrado ABCD:

$A_{\boxed{}}=L^{2} , \ onde \ L=\sqrt{84} \\ \\\therefore \ \ \boxed{A_{\boxed{}}=84}$

(e) Calculando a área do triângulo ABC:

• Sabemos que a área do triângulo ABC é metade da área total, ou seja:

$A_{ABC}=\frac{L^{2}}{2} \\ \\ A_{ABC}=\frac{84}{2} \ \rightarrow \ \boxed{A_{ABC}=42 }$

(f) Calculando a área do quadrilátero ABMP:

                            $\boxed{A_{ABMP}=A_{ABP}+A_{BMP}}$

Onde:

• $\bold{A_{ABP}=28}$
• $\bold{A_{BMP}=7}$

$A_{ABMP}=28+7\\ \\\boxed{\boxed{A_{ABMP}=35}}$

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