Na figura a seguir, ABCD é um retângulo, P e Q são pontos sobre os segmentos AB e CD, respectivamente, e os números representam as áreas dos respectivos triângulos onde eles estão desenhados. Qual é a área do quadrilátero MPNQ ?
Opções
(A) 24
(B) 25
(C) 34
(D) 35
(E) 36
Soluções para a tarefa
Pela figura, podemos perceber que a área do quadrilátero MPNQ é a diferença entre a área do triângulo ABQ e a soma dos triângulos AMP e BNP. Logo:
Área(MPNQ) = Área(BPQ) - [Área(AMP) + Área(BNP)]
Área(BPQ)
Se traçarmos uma reta sobre o ponto Q, formaremos dois triângulos: AEQ e BEQ. A área desses triângulos é igual a dos triângulos opostos a eles. Assim:
AEQ = 16 + 8
AEQ = 24
BEQ = 27 + 9
BEQ = 36
Portanto:
Área(BPQ) = 24 + 36
Área(BPQ) = 60
Área(AMP)
Os triângulos DMQ e AMP são semelhantes, pois têm um ângulo oposto pelo vértice e, pelo teorema de Tales, seus segmentos são proporcionais. Assim, pela figura, cabem 4 triângulos DMQ em AMP. Logo:
Área(AMP) = 4×8
Área(AMP) = 32
Área(BNP)
Os triângulos CNQ e BNP também são semelhantes, pois têm um ângulo oposto pelo vértice e, pelo teorema de Tales, seus segmentos são proporcionais. Assim, pela figura cabem 9 triângulos BNP em CNQ. Logo:
Área(BNP) = 27/9
Área(BNP) = 3
Pronto! Agora basta substituirmos os termos encontrados para calcularmos a área de MPNQ.
Área(MPNQ) = Área(BPQ) - [Área(AMP) + Área(BNP)]
Área(MPNQ) = 60 - [32 + 3]
Área(MPNQ) = 60 - 35
Área(MPNQ) = 25
Alternativa B.