Matemática, perguntado por wjiqubhus, 1 ano atrás

Na figura a seguir, ABCD é um retângulo, P e Q são pontos sobre os segmentos AB e CD, respectivamente, e os números representam as áreas dos respectivos triângulos onde eles estão desenhados. Qual é a área do quadrilátero MPNQ ?

Opções

(A) 24
(B) 25
(C) 34
(D) 35
(E) 36

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por jalves26
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Pela figura, podemos perceber que a área do quadrilátero MPNQ é a diferença entre a área do triângulo ABQ e a soma dos triângulos AMP e BNP. Logo:

Área(MPNQ) = Área(BPQ) - [Área(AMP) + Área(BNP)]


Área(BPQ)

Se traçarmos uma reta sobre o ponto Q, formaremos dois triângulos: AEQ e BEQ. A área desses triângulos é igual a dos triângulos opostos a eles. Assim:

AEQ = 16 + 8              

AEQ = 24

BEQ = 27 + 9

BEQ = 36

Portanto:

Área(BPQ) = 24 + 36

Área(BPQ) = 60


Área(AMP)

Os triângulos DMQ e AMP são semelhantes, pois têm um ângulo oposto pelo vértice e, pelo teorema de Tales, seus segmentos são proporcionais. Assim, pela figura, cabem 4 triângulos DMQ em AMP. Logo:

Área(AMP) = 4×8

Área(AMP) = 32


Área(BNP)

Os triângulos CNQ e BNP também são semelhantes, pois têm um ângulo oposto pelo vértice e, pelo teorema de Tales, seus segmentos são proporcionais. Assim, pela figura cabem 9 triângulos BNP em CNQ. Logo:

Área(BNP) = 27/9

Área(BNP) = 3


Pronto! Agora basta substituirmos os termos encontrados para calcularmos a área de MPNQ.

Área(MPNQ) = Área(BPQ) - [Área(AMP) + Área(BNP)]

Área(MPNQ) = 60 - [32 + 3]

Área(MPNQ) = 60 - 35

Área(MPNQ) = 25


Alternativa B.

Anexos:
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