Question

Na figura a seguir


ABCD é um quadrado de lado 4


M é ponto médio do lado AB


N é ponto médio do lado BC


L é ponto médio do segmento DN


P é a interseção dos segmentos AL e DM.

Introduza um sistema de coordenadas cartesiano no plano dessa figura e, em relação a esse sistema de coordenadas, faça o que se pede.

(a) Determine as coordenadas dos vértices A, B, C, D e dos pontos médios M, N e L.

(b) Determine as equações das retas AL e DM.

(c) Determine as coordenadas do ponto P.

(d) Calcule as áreas das cinco regiões que o quadrado está dividido.

Answer 1

Resposta:

A solução detalhada encontra-se na explicação passo a passo.

Explicação passo a passo:

Colocando a origem do sistema de coordenadas cartesianas coincidindo com o vértice A do quadrado temos a figura representada abaixo a partir da qual podemos determinar o que se pede:

(a)

As coordenadas são:

Vértices - A(0,0); B(4,0); C(4,4); D(0,4)

Pontos Médios: M(2,0); N(0,2); L(2,3)

(b)

A equação da reta AL representada na figura pela reta r tem coeficiente angular m = Δy/Δx.

m = 3/2 e a reta passa pela origem temos o ponto A(0,0), substituindo na equação: y - y₀ = m . (x - x₀)

r: y = 3x/2

A equação da reta DM representada na figura pela reta s tem coeficiente angular m = Δy/Δx.

m = -2 e a reta passa pelo ponto D(0,4), substituindo na equação: y - y₀ = m . (x - x₀)

s: y - 4 = -2 . (x - 0)

s: y = - 2x + 4

(c) As coordenadas de P podem ser obtidas igualando as equações das retas r e s obtidas no item (b).

3x/2 = - 2x + 4

3x = - 4x + 8

7x = 8

x = 8/7 e y = 12/7

P(8/7, 12/7)

(d) Podemos decompor a figura em:

Triângulos APD, APM, PLD e CDN

Pentágono BNLPM

Área do triângulo APD (usamos a fórmula tradicional A = b . h)$A_{APD}=\dfrac{4\cdot \dfrac{8}{7}}{2}=\dfrac{16}{7}u.a.$

Área do triângulo APM

$A_{APM}=\dfrac{2\cdot \dfrac{12}{7}}{2}=\dfrac{12}{7}u.a.$

Área do triângulo PLD (usamos o determinante)

$A_{PLD}=\dfrac{|\det|}{2}\\\\A_{PLD}=\dfrac{\begin{vmatrix}8/7 & 12/7 & 1\\ 2 & 3 & 1\\ 0 & 4 & 1\end{vmatrix}}{2}\\\\A_{PLD}=\dfrac{12}{7}u.a.$

Área do triângulo CDN (vale 1/4 da área do quadrado)

$A_{CDN}=4u.a.$

Área do Pentágono BNLPM (usamos o OCAP - Operador Condição de Alinhamento de Pontos - processo semelhante ao determinante)

$A_{BNLPM}=\dfrac{|OCAP|}{2}\\\\A_{BNLPM}=\dfrac{\begin{vmatrix}4&4&2&8/7&2&4\\0&2&3&12/7&0&0 \end{vmatrix}}{2}\\\\A_{BNLPM}=\dfrac{44}{7}u.a.$