Question

Na figura a seguir A, B e C são pontos de
tangência e o segmento PA mede 8 cm.
Quanto vale a área da coroa circular
(região sombreada da figura)?

Answer 1

A área da coroa circular mede 16π cm².

Geometria Plana - Áreas

Observando a figura podemos chamar o centro dos círculos de O e sabendo que toda reta tangente a circunferência é perpendicular ao raio teremos as seguintes informações:

• O triângulo AOB é isósceles e possui ângulo oposto ao lado AB medindo 120° e desse modo os ângulos OAB e OBA medem 30°;

• O ângulo OAP mede 90°, pois PA é tangente ao círculo, logo o ângulo BAP mede 60° e ABP também mede 60° e portanto o triângulo PAB é equilátero;

• Sabendo que PA = 8 cm, AC mede 4 cm;

• O triângulo ACO é retângulo em C, e portanto OC é cateto oposto (raio r do círculo menor) e AC é cateto adjacente ao ângulo de 30°, aplicando a razão trigonométrica da tangente de 30° teremos:

$\tan 30^{\circ}=\dfrac{OC}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow OC=r=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

• No mesmo triângulo ACO, AO é hipotenusa (raio R do círculo maior) e portanto vale o Teorema de Pitágoras.

$AO^2=AC^2+OC^2\\\\AO^2=4^2+\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2\\\\AO^2=16+\dfrac{4}{3}\\\\AO^2=\dfrac{52}{3}\\\\AO=\dfrac{2\sqrt{39}}{3}$

Por fim calculamos a área da coroa circular da seguinte forma:

$A_{coroa}=\pi\cdot (R^2-r^2)\\\\A_{coroa}=\pi\cdot \left(\dfrac{52}{3}-\dfrac{4}{3}\right)\\\\A_{coroa}=16\pi \ cm^2$

Para saber mais sobre Áreas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/19628098

#SPJ1