Question

Na equação logaritmica log2 (x+2) + log2 (x-2)= 5, o valor real de x é?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bessa, que a resolução é simples.
Tem-se a seguinte equação logarítmica:

log₂ (x+2) + log₂ (x-2) = 5

Antes vamos ver quais são as condições de existência da equação acima:
como só há logaritmos de números positivos, então vamos impor que os logaritmandos sejam maiores do que zero. Assim, deveremos ter como condição de existência:

x + 2 > 0
x > -2
e
x-2 > 0
x > 2.

Agora veja: entre "x" ser maior do que "-2" e maior do que "2", então vai prevalecer a segunda hipótese (x>2), pois sendo "x" maior do que "2" já será maior do que "-2". Então a condição de existência vai ser esta:

x > 2

Como já vimos as condições de existência, agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₂ (x+2) + log₂ (x-2) = 5 ----- como as bases são iguais, então poderemos transformar a soma em produto, ficando assim:

log₂ [(x+2)*(x-2)] = 5 ----- agora vamos aplicar a definição de logaritmo. De acordo com a definição, o que temos aqui é a mesma coisa que;

2⁵ = (x+2)*(x-2) ----- desenvolvendo, teremos isto:
32 = x² - 4 ---- passando "-4" para o 1º membro, temos:
32 + 4 = x²
36 = x² ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² = 36 ----- isolando "x", teremos:
x = ± √(36) ------ como √(36) = 6, teremos;
x = ± 6 ---- note que "x" poderá ser "-6" ou "+6".

Mas como já vimos, conforme as condições de existência, que "x" terá que ser maior do que "2", então tomaremos apenas a raiz x = 6, pois "6" é maior do que "2". Logo, o conjunto-solução será:

x = 6 <---- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = { 6 } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.