Question

Na equação 2cos²x - senx = 1, no intervalo de [0, 2π], seu conjunto solução, é:

a) S = {3π/2}
b) S = {π/6, 5π/6}
c) S = {π/6, 3π/2}
d) S = {π/6, 5π/6, 3π/2}
e) S = {π/6, 5π/6, 3π/2, 11π/6}

alguém sabe como fazer pfvr?
P.S: TEM QUE DAR D!
P.S.S: A PERGUNTA NÃO È 2cos²x = 1 - senx !!!!

Answer 1

2cos² x - sen x = 1

Lembre-se: sen² x + cos² x = 1

Como na equação mostra cos² x, então vamos isolar este na relação acima, ficando o seguinte:

cos² x = 1 - sen² x

Substituindo na equação, temos:

2cos² x - sen x = 1 => 2(1 - sen² x) - sen x = 1

Resolvendo a nova equação:

2 - 2sen² x - sen x = 1

-2sen² x - sen x + 2 - 1 = 0

-2sen² x - sen x + 1 = 0

2sen² x + sen x - 1 = 0

Substituindo sen x por y, temos:

2y² + y - 1 = 0

∆ = b² - 4ac

∆ = 1² - 4.2.(-1)

∆ = 1 + 8

∆ = 9

y = (-b ± √∆)/2a

y = (-1 ± √9)/(2.2)

y = (-1 ± 3)/4

y' = (-1 + 3)/4 = 2/4 = 1/2

y" = (-1 - 3)/4 = -4/4 = -1

Como sen x = y, e x compreende a primeira volta na circunferência trigonométrica, temos o seguinte:

sen x = y' => sen x = 1/2

Note que temos um sen x positivo, ou seja, temos duas soluções nesse primeiro momento, sendo uma no 1° quadrante e a outra no 2° quadrante.

Analisando, nota-se que x = π/6 (30°), pois o seno de 30° é igual a 1/2.

Como a outra solução está no 2° quadrante, precisamos de um arco que faça simetria com 30°. Assim, podemos ter 90° como referência no eixo de simetria e acrescentar 60°. Logo, temos que 150°, ou seja, 5π/6, também é uma solução.

Agora, vamos à segunda parte, sendo y = -1, ficando assim:

sen x = y" => sen x = -1

Agora, perceba que o seno é negativo e tem como resultado o seu valor mínimo. Dentro do intervalo dado, a única localização que o seno vale -1 é na extremidade inferior, no arco de 270°. Isto é, o arco de 3π/2.

Portanto, concluímos que a equação dada admite três soluções dentro do intervalo [0, 2π], sendo elas:

S = {π/6, 5π/6, 3π/2}