Question

Na equação 2cos²x - senx = 1, no intervalo de [0, 2π], seu conjunto solução, é:
a) S = {3π/2}
b) S = {π/6, 5π/6}
c) S = {π/6, 3π/2}
d) S = {π/6, 5π/6, 3π/2}
e) S = {π/6, 5π/6, 3π/2, 11π/6}

alguém sabe como fazer pfvr?
P.S: TEM QUE DAR D!

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo: são 3 soluções. Letra d

Answer 2

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante a resolução de equações trigonométricas que o conjunto solução da equação 2cos²x-sen x =1 no intervalo [0,2π] é  

$\small{\sf S=\bigg\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\bigg\}}\Large{\checkmark}$ alternativa d

Equação trigonométrica

Chama-se equação trigonométrica a toda equação cujo arco é desconhecido. A solução de uma equação trigonométrica depende do domínio da função . No caso da função seno este domínio é $\sf x\in\mathbb{R}$. Para resolver equações trigonométricas é preciso ter o domínio básico dos arcos notáveis, da redução ao primeiro quadrante e da relação fundamental da trigonometria.

Convém lembrar a seguinte tabela:

$\Large\boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}&\sf0&\sf\dfrac{\pi}{6}&\sf\dfrac{\pi}{4}&\sf\dfrac{\pi}{3}&\sf\dfrac{\pi}{2}&\sf\pi&\sf\dfrac{3\pi}{2}&\sf2\pi\\\\\sf sen&\sf0&\sf\dfrac{1}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sf&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf1&\sf0&\sf-1&\sf0\\\\\sf cos&\sf1&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{2}&\sf\dfrac{\sqrt{2}}{2}&\sf\dfrac{1}{2}&\sf0&\sf-1&\sf0&\sf1\\\\\sf tg&\sf0&\sf\dfrac{\sqrt{3}}{3}&\sf1&\sf\sqrt{3}&\not\exists&\sf0&\not\exists&\sf0\end{array}}$

✍️Vamos a resolução da questão

Vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para escrever a equação dada em função apenas de uma função trigonométrica em x, em seguida iremos resolver aplicando os conhecimentos de redução ao primeiro quadrante.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2cos^2x-sen\,x=1\\\sf sen^2x+cos^2x=1\implies cos^2x=1-sen^2x\\\sf 2(1-sen^2x)-sen\,x-1=0\\\sf 2-2sen^2x-sen\,x-1=0\\\sf -2sen^2x-sen\,x+1=0\cdot(-1)\\\sf 2sen^2x+sen\,x-1=0\end{array}}$

fazendo y=sen x com $\sf -1\leqslant y\leqslant 1$ temos

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2y^2+y-1=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=1^2-4\cdot2\cdot(-1)\\\sf\Delta=1+8\\\sf\Delta=9\\\sf y=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\sf y=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{2\cdot2}\\\\\sf y=\dfrac{-1\pm3}{4}\begin{cases}\sf y_1=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\\sf y_2=\dfrac{-1-3}{4}=-\dfrac{4}{4}=-1\end{cases}\end{array}}$

para $\sf y=\dfrac{1}{2}$:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen(x)=\dfrac{1}{2}\\\sf x=\dfrac{\pi}{6}\\\\\sf sen(x)=\dfrac{1}{2}\\\\\sf x=\pi-\dfrac{\pi}{6}\\\\\sf x=\dfrac{5\pi}{6}\end{array}}$

para $\sf y=-1$:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen(x)=-1\\\sf x=\dfrac{3\pi}{2}\end{array}}$

O conjunto solução é dado por

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf S=\bigg\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\bigg\}\end{array}}$

Saiba mais em:

brainly.com.br/tarefa/28853289

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