Question

Na divisão do inteiro n por 10 o quociente é q e o resto r, |2 r - q| ≡ 0 (mód. 7). Mostrar que 7|n.

Answer 1

$\bullet\;\;$ Do enunciado, temos que

$n=10q+r\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}\\ \\ 7\,|\,(q-2r)\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


Da hipótese $\mathbf{(ii)},$ temos que

$7\,|\,10(q-2r)\\ \\ \Rightarrow\;\;7\,|(10q-20r)\\ \\ \Rightarrow\;\;7\,|(10q+r-21r)\\ \\ \Rightarrow\;\;7\,|(n-3r\cdot 7)\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


Como $7\,|(3r\cdot 7),$ e por $\mathbf{(iii)},$ concluímos que

$7|\,(7\cdot 3r+n-7\cdot 3r)\\ \\ \Rightarrow\;\;7\,|\,n\;\;\;\;\blacksquare$