Question

Na divisão de (x³ - 5x² + 15x - 10) por (x² - 4x + 9) o valor numérico do resto para x = 10 é
a)21
b)20
c)19
d)18
e)10

Answer 1

O valor numérico do resto da divisão dada para x = 10 é igual a 19, isto é, a resposta correta é a alternativa c.

Explicação

Para resolvermos esta questão, vamos realizar a divisão do polinômio $x^3-5x^2+15x-10$ por $x^2-4x+9$ usando o método da chave. Neste caso, temos $f(x)=x^3-5x^2+15x-10$ como dividendo e $g(x)=x^2-4x+9$ como divisor.

Para tanto, siga os passos a seguir e veja a imagem anexa.

1º Passo: Divida o termo de maior do dividendo pelo de maior grau do divisor e obtenha o primeiro termo do quociente $q(x),$ ou seja, $\dfrac{x^3}{x^2}=x.$ O primeiro resto $r_1$ é obtido por meio da operação $r_1=f-x\cdot g.$ Assim, segue que:

$\large\displaystyle\begin{gathered}r_1=(x^3-5x^2+15x-10)-x(x^2-4x+9)\\\\\\ r_1=(\diagup\!\!\!\!\!x^3-5x^2+15x-10)-\diagup\!\!\!\!\!x^3+4x^2-9x\\\\\\r_1=-x^2+6x-10\end{gathered}$

Como o grau de $r_1$ é igual ao do divisor, a divisão não está concluída. Então siga o próximo passo.

2º Passo: Divida o termo de maior grau de $r_1$ pelo de maior grau do divisor, ou seja, $\dfrac{-x^2}{x^2}=-1,$ que é o segundo termo do quociente. O segundo resto parcial $r_2$ é dado por $r_2=r_1-(-1)\cdot g.$ Desse modo, temos:

$\large\displaystyle\begin{gathered}r_2=(-x^2+6x-10)-(-1)\cdot(x^2-4x+9)\\\\\\r_2=(-x^2+6x-10)-(-x^2+4x-9)\\\\\\r_2=(-\diagup\!\!\!\!\!x^2+6x-10)+\diagup\!\!\!\!\!x^2-4x+9\\\\\\r_2=2x-1\end{gathered}$

Note que o resto $r_2$ possui grau menor do que o do divisor. Portanto, a divisão está finalizada. O quociente obtido é $q(x)=x-1$ e o resto final é $r(x)=2x-1.$

Como queremos o valor numérico do resto quando $x$ é igual a 10, basta trocar, na expressão do resto, $x$ por 10 e fazer os cálculos necessários. Observe:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}r(10)=2\cdot 10-1\implies\\\\\\\implies r(10)=20-1\implies\\\\\\\implies \boxed{\boxed{r(10)=19}}\end{gathered} }$

Resposta: alternativa c. $\checkmark$

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