Question

Na circunferência ao lado os pontos A, B e C são pontos da circunferência de centro O. Calcule o valor de x + y.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:57 º = ∡ c + ∡ a

Explicação passo-a-passo:

Na figura, A, B e C são pontos da circunferência de centro O e "a "e "c" são as medidas dos ângulos com vértices em A e C, respectivamente. Determine, em graus, a soma de a + c.    

                                                                  ∡ AOC = 114º (é um

                                      B                                  ângulo central)

                                       º                        ∡ BAO  chamado de ∡  a

                                   º        º                   ∡ BCO  chamado de ∡  c

                               º       O       º               [ AO ] = [ CO ] são raios

                           º     º           º      º             da circunferência

                       º   º                        º   º                    

                   º º                                   º º                

           A  ººººººººººººººººººººººººººººººººº C

1) Introdução:

À figura inicial adicionei o segmento de reta [AC]

O arco AC = amplitude de ∡  AOC  = 114º , por este ângulo ser um ângulo central, que tem a mesma medida que a amplitude do arco entre os seus lados.

O ângulo ABC é um ângulo inscrito na circunferência e o arco entre os seus lados , arco AC, tem a amplitude de 114º .

Logo a amplitude de ∡ ABC é de metade do arco compreendido entre os seus lados , ou seja 114 / 2 = 57º

No triângulo AOC , que é isósceles ( tem dois lados iguais, são ambos raios de uma mesma circunferência ) os ângulos OAC e OCA são iguais.

Isto prova-se pelo teorema que diz :

"Num triângulo a lados iguais opõem-se ângulos iguais, e vice versa"

2) Cálculo da amplitude dos ângulos OAC e OCA

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é de 180º

Como o ∡ AOC mede 114º, a soma de ângulos OAC e OCA  é igual a

180º - 114º =  66º

Como são iguais, cada um dos ângulos OAC e OCA tem amplitude de 33º.

3) Cálculo da soma de ∡ a e ∡ b

Pegando agora no triângulo ABC,  consegue calcular-se a amplitude dos ângulos BAC  e BCA.

∡BCA = 33º + ∡ c

∡BAC = 33º + ∡ a

Também, pela soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo,

180º = ∡ ABC + ( 33º + ∡ c ) + ( 33º ∡ a )

⇔ 180º =  57 º + 33º + ∡ c + 33º ∡ a

⇔ 180 - 57 - 33 - 33 = ∡ c + ∡ a

⇔  57 º = ∡ c + ∡ a

Sinais :   ( ⇔ ) equivalente a     ( / ) dividir

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.