Question

N° 7 alguem sabe fazer ?

Answer 1

Observemos a função 

$g(x)=\sqrt{x}+1\\ \\ g(x)=x^{1/2}+1$


Se derivarmos a função $g$ em relação a $x,$ obtemos

$\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot x^{(1/2)-1}\\ \\ \\ \dfrac{dg}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2}\\ \\ \\ \dfrac{dg}{dx}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x^{1/2}}\\ \\ \\ \dfrac{dg}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$


Podemos escrever a expressão acima, na notação diferencial:

$dg=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$


Mas na integral, está aparecendo $\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\,dg.$

Então, podemos resolver a integral dada, com a substituição

$\sqrt{x}+1=g\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=dg\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\,dg$


Tomando a integral e aplicando a substituição acima, temos

$\displaystyle\int{\dfrac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}+1)}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\dfrac{1}{g}\cdot 2\,dg}\\ \\ \\ =2\int{\dfrac{1}{g}\,dg}\\ \\ \\ =2\,\mathrm{\ell n}|g|+C\\ \\ \\ =2\,\mathrm{\ell n}|\sqrt{x}+1|+C$


Se repararmos bem, o termo dentro do módulo nunca será negativo. Então, podemos simplificar ainda mais o resultado, retirando o módulo e obtendo

$=2\,\mathrm{\ell n}(\sqrt{x}+1)+C$