Question

n! + (n-1)! / (n+1)! = 1/8

Answer 1

Temos o seguinte:

$\frac{n! + (n-1)!}{(n+1)!} = \frac{1}{8}$

Podemos reescrever como:

$\frac{n \cdot (n-1)! + (n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{n \cdot (n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} + \frac{(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1) \cdot n} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{n^2 + n + n + 1}{(n+1) \cdot (n^2 + n)} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{n^2 + 2n + 1}{(n+1) \cdot (n^2 + n)} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{(n+1)\cdot (n+1)}{(n+1) \cdot (n^2 + n)} = \frac{1}{8} \\ \\ \frac{n+1}{n^2 + n} = \frac{1}{8}$

Logo temos:

$\frac{n+1}{n^2 + n} = \frac{1}{8} \\ \\ 8n + 8 = n^2 + n \\ \\ n^2 - 7n - 8 = 0 \\ \\ \Delta = 49 + 32 = 8 1 \\ \\ n = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{7 \pm 9}{2} \\ \\ n' = 8 \\ n''= -1$

Como precisa ser natural, o número para se ter o fatorial, temos o seguinte:

$\boxed{n=8}$