Question

Multiplicando os valores reais distintos que resolvem a equação:

$\Large\begin{array}{lr}(\tt x^3-6x^2+12x-4)^2-15(x^3-6x^2+12x-4)+36=0\end{array}$

a)4
c)6
d)9
e)12
f)18​

Answer 1

Multiplicando os valores reais e distintos que resolvem a equação, obtém-se: a) 4.

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Skyej0w, nesta equação queremos saber primeiro os valores de x que a resolvem. Primeiro tente reduzir a expressão do primeiro membro ao máximo e, para isso, tente fatorar os polinômios do 3º grau.

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Sabe-se que m³ – 3m²n + 3mn² – n³ = (m – n)³, todavia, observe que:

$\sf x^3-6x^2+12x-4=(x)^3-3\cdot(x)^2\cdot(2)+3\cdot(x)\cdot(2)^2-\boxed{\sf 4}$

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Para a fatoração dar certo – 4 deveria ser – 2³ — já que 2 é o valor de “n” na formula supracitada —, mas isso não é possível. Então, a fim de completar o cubo, faça – 4 = – 8 + 4, daí:

$\sf(x)^3-3\cdot(x)^2\cdot(2)+3\cdot(x)\cdot(2)^2-2^3+4=(x-2)^3+4$

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Agora sim, reduzindo a equação:

$\sf(x^3-6x^2+12x-4)^2-15(x^3-6x^2+12x-4)+36=0$

$\sf[(x-2)^3+4]^2-15[(x-2)^3+4]+36=0$

$\sf[(x-2)^3]^2+2(x-2)^3\cdot4+4^2-15(x-2)^3-15\cdot4+36=0$

$\sf[(x-2)^3]^2+8(x-2)^3+16-15(x-2)^3-60+36=0$

$\sf[(x-2)^3]^2+8(x-2)^3-15(x-2)^3-8=0$

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Veja que nesta forma podemos resolvê-la por intermédio de um artifício; fazendo a substituição (x – 2)³ = k e resolvendo para a variável auxiliar “k”, encontra-se:

$\sf k^2+8k-15k-8=0$

$\underbrace{\sf k^2-7k-8=0}_{\sf Uma~eq.~quadr\acute{a}tica!}$

$\sf k^2+k-8k-8=0$

$\sf k(k+1)-8(k+1)=0$

$\sf (k+1)(k-8)=0$

$\sf k+1=0\vee k-8=0$

$\sf k_1=-\,1\vee k_2=8$

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Substituindo de volta k₁,₂ = (x – 2)³ para encontrar a variável x:

$\left[\begin{array}{ll}\sf(x-2)^3=-\,1\\\vee\\\sf(x-2)^3=8\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left[\begin{array}{ll}\sf x-2=\sqrt[\sf3]{\sf-\,1}\\\vee\\\sf x-2=\sqrt[\sf3]{\sf8}\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left[\begin{array}{ll}\sf x-2=-\,1\\\vee\\\sf x-2=2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow~\left[\begin{array}{ll}\sf x=2-1\\\vee\\\sf x=2+2\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left[\begin{array}{ll}\sf x_1=1\\\vee\\\sf x_2=4\end{array}\right.$

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Então 1 e 4 são as raízes reais e distintas que resolvem a eq. inicial. Como ele pede para multiplicá-las, encontra-se:

$\sf x_1x_2=1\cdot4$

$\sf x_1x_2=4~~~\longleftarrow~~~alternativa~a$

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.