Matemática, perguntado por marcelo7197, 5 meses atrás

Mostre que z é um número complexo com módulo igual a 1 , então $\sf{\Big| \dfrac{2z-1}{z-2}\Big|~=~1 } \\$ .

Soluções para a tarefa

Respondido por EinsteindoYahoo

Sabemos |z|=1 ==> √z²=1 ==> z²=1

(2z-1)/(z-2)

(2z-1)*(z+2)/(z-2)*(z+2)

(2z²+4z-z-2)/(z²-4)

(2+3z-2)/(1-4)

3z/(-3)

=-z

(2z-1)/(z-2) =-z

Como |-z| =| z| =1 ==> |(2z-1)/(z-2)| =1 c.q.p.

Usuário anônimo: Sendo z = a + bi (número complexo genérico escrito na forma algébrica), é verdade que |z|² = a² + b². Se |z| = 1 — |z| = 1 ⇔ |z|² = 1 —, então, do enunciado, tiramos que a² + b² = 1, que equivale a a² = 1 – b² ≥ 0 (– 1 ≤ b ≤ 1) ou a b² = 1 – a² ≥ 0 (– 1 ≤ a ≤ 1).

Usuário anônimo: Atribuindo a “a” ou a “b” algum valor em [– 1, 1] e substituindo-o em quaisquer das duas relações acima explicitadas (a² = 1 – b² ou b² = 1 – a²), vemos claramente que existem infinitos números complexos de módulo unitário que diferem de z = 1 + 0i e de z = – 1 + 0i (z = i = 0 + 1i é um deles; cujo módulo é |z|² = 0² + 1² = 1 ⇔ |z| = 1).

Usuário anônimo: Isso fica ainda mais evidente quando pensamos na representação geométrica das soluções da equação quadrática bivariada a² + b² = 1 no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss). Se a = Re(z) e b = Im(z), temos que a² + b² = [Re(z)]² + [Im(z)]² = |z|² = 1 gerará uma circunferência de raio 1 (um) no plano de Argand-Gauss (centrada na origem, é claro), e os infinitos pontos que estão sobre ela são os infinitos números complexos de módulo unitário.

Usuário anônimo: Também poderíamos ter pensado na forma trigonométrica (ou forma polar) de um número complexo “z” de módulo unitário, que é z = cos θ + i sen θ [com efeito: |z|² = (cos² θ + sen² θ)² = 1² = 1. Notemos que existem infinitos números reais θ (teta) tais que z = cos θ + i sen θ e |z| = 1]. A pergunta que fica agora é a seguinte: todos os números complexos que pertencem à circunferência de raio unitário (complexos de módulo um) satisfazem z² = 1?

Usuário anônimo: É aí que o negócio dá ruim. A resposta pra isso é NÃO. Vejamos agora o porquê: |z|² = 1 ⇔ a² + b² = 1 — usando “z” na forma algébrica a + bi; onde – 1 ≤ a ≤ 1 e – 1 ≤ b ≤ 1 —, e isso implica z = cos θ + i sen θ (a = cos θ e b = sen θ), que, por sua vez, implica z² = cos 2θ + i sen 2θ. Sabemos que, para |z| = 1, é válido escrever z² = 1 apenas quando cos 2θ + i sen 2θ = 1 + 0i; a saber:

Usuário anônimo: cos 2θ + i sen 2θ = 1 + 0i

cos 2θ = 1 e sen 2θ = 0

θ = k₁π e θ = k₂π/2 = k₃π U (união) π/2 + k₄π

Usuário anônimo: Logo, a igualdade vale apenas para θ = nπ; n ∈ ℤ . Isso é o mesmo que dizer que, quando |z| = 1, a igualdade z² = 1 só é satisfeita para z = 1 + 0i ou z = – 1 + 0i. Recapitulando: |z| = 1 ⇒ z² = 1 somente quando z = 1 + 0i ou z = – 1 + 0i (veja que z = i = 0 + 1i tem |z| = 1, no entanto z² = i² = – 1 ≠ 1).

Usuário anônimo: Há, contudo, um jeito muito simples de mostrar que z² = 1 tem como soluções complexas apenas as duas possibilidades para “z” mostradas anteriormente, que é por intermédio do cálculo das raízes quadradas da unidade no campo dos complexos (são duas apenas; considerando, também, a raiz cos π + i sen π = – 1, além de cos 0 + i sen 0 = 1) através da fórmula de De Moivre específica para radiciação de números complexos.

Usuário anônimo: Nota: kᵢ ∈ ℤ , ∀i ∈ {1, 2, 3, 4}.

Usuário anônimo: Resumo da ópera: |z| = 1 ⇏ z² = 1, uma vez que existe “z” com |z| = 1, tal que z² ≠ 1 (z = 0 + 1i é um deles).

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