Question

Mostre que v = ( 3, 2, 1 ) é uma combinação linear de u = ( 1, -2, 3 ) e w = ( 5, 6, -1 ).

Answer 1

Você deve montar um sistema, com 3 equações uma pra cada coordenada.

*********O conceito que será usado, é o de multiplicação de vetor por escalar.

Mas devemos multiplicar uma variável qualquer pelos vetores,antes de tudo, assim :

A*u = (1A, -2A, 3A)
B*w= (5B, 6B, -1B)

v = (3,2,1)

E o que você quer descobrir é:  [v = A*u + B*w]     <- Equação principal
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Agora você montara o sistema :

1ª      1A + 5B = 3
2ª     -2A + 6B = 2
3ª     3A + (-1B) = 1

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Na 1ª equação, se isolarmos o A, teremos uma 4ª equação, que será: 

A = 3 -5B
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Se substituirmos a 4ª equação na 3ª equação, teremos que:

3*(3 -5B) - B = 1

3*3 + 3*-5B -B = 1

9 -15B -B =1

9-1 = 16B

B= 8/16 = 1/2

B=1/2
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COMO JÁ DESCOBRIMOS O VALOR DE B, vamos pegar qualquer uma das equações e descobrir o valor de A, vou pegar a 1ª equação por acaso:

1A + 5*(1/2) = 3

A = 3 -5/2

A = (6-5)/2

A= 1/2
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Agora que já temos os valores de A e B, apenas vamos substituir na equação principal

v = 1/2u + 1/2w      <------ Resposta
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Você pode substituir os valores de u e w, e descobrir se essa relação está correta, ou seja se realmente vai resultar no vetor v.