Question

Mostre que uma função cúbica pode ter dois um ou nenhum números... (mais detalhes no anexo)

Answer 1

a)

Primeiramente vamos lembrar o que é um ponto crítico de um função, se temos uma função f, derivável, x é um ponto crítico de f se f'(x) = 0.

Com isso temos que os máximos e mínimos de uma função sempre serão pontos críticos, mas atenção, a recíproca não é válida, nem todos os pontos críticos são máximos ou mínimo.

Logo se temos a função f definida como:

                      $\Large\displaystyle\begin{aligned}f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \quad a\ne 0\end{aligned}$

Calculando sua derivada temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{aligned}f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, \quad a\ne 0\end{aligned}$

Portanto os pontos críticos da cúbica são dados pela raíz dessa quadrática, logo:

                         $\Large\displaystyle\begin{aligned}3ax^2 + 2bx + c = 0, \quad a\ne 0\end{aligned}$

Então podemos achar as raízes pela fórmula da quadrática (Bhaskara), então teremos:

                                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}x = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}\end{aligned} }$

Para não confundir a notação irei dizer que:

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}\underbrace{3a}_{ \alpha}x^2 +\underbrace{2b}_{\beta}x + \underbrace{c}_{\gamma} = 0\end{aligned}$

Então fazendo o discriminante (Delta):

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\Delta &= \beta^2 - 4\alpha\gamma\\ \\\Delta &= (2b)^2 - 4(3a)(c)\\ \\\Delta &= 4b^2 - 12ac\\ \\\end{aligned}$

Vamos lembrar a relação que o discriminante tem com a existência das raízes de uma quadrática:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}\Delta > 0 & \text{ duas ra\'izes distintas}\\ \\\Delta = 0 & \text{ ra\'izes iguais}\\ \\\Delta < 0 & \text{ sem ra\'izes reais}\end{cases}\end{aligned}$

Portanto, podemos dizer que:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}4b^2 - 12ac > 0 & \text{ dois pontos cr\'iticos}\\ \\4b^2 - 12ac = 0 & \text{ um ponto cr\'itico}\\ \\4b^2 - 12ac < 0 & \text{ nenhum ponto cr\'itico}\end{cases}\end{aligned}$

Sendo que se exister ponto críticos, ele será dado por:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}&x = \frac{-(2b) \pm \sqrt{4b^2 - 12ac}}{2(3a)}\\ \\&x = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a}\\ \\&\begin{cases}x_1 = \frac{-2b + \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a}\\ \\x_2 = \frac{-2b - \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a}\end{cases} \Delta \geqslant 0\end{aligned} }$

b)

Como vimos, f(x) pode ter dois ou apenas um ponto críticos, dado um intervalo [a, b], f(x) pode ter no máximo 2 extremos locais.

Lembrando que não necessariamente os dois extremos são pontos críticos, podemos ter 1 sendo um crítico e outro ser um dos valores limites do intervalo, como por exemplo f(b) pode ser um máximo ou mínimo.

Por isso, sempre que vamos verificar extremos num intervalo [a, b] temos que testar os pontos críticos e os extremos do intervalo.

Vamos a alguns exemplos (vide figura anexas).

Irei mostrar os três casos, um onde há dois pontos críticos, um ponto crítico e nenhum.

Primeiro exemplo:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 \\ \\f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 \\ \\\Delta = -8 \Rightarrow \text{ nenhum ponto cr\'itico}\end{cases}\end{aligned}$

Segundo exemplo:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 \\ \\f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \\ \\\Delta = 0 \Rightarrow \text{ um ponto cr\'itico}\\ \\x_1 = x_2= 1 \end{cases}\end{aligned}$

Terceiro exemplo:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}\begin{cases}f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 2x + 1 \\ \\f'(x) = 6x^2 - 8x + 2 \\ \\\Delta = 16 \Rightarrow \text{ dois pontos cr\'iticos}\\ \\x_1 = 1 \\ \\x_2 = \frac{1}{3} \end{cases}\end{aligned}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

Veja mais sobre em:

Análise da Função e Esboço do Gráfico - brainly.com.br/tarefa/40841698